П.3 Интегрирование иррациональных функций

П.2 Метод Остроградского

Этот метод применяется, когда знаменатель правильной рациональной дроби имеет кратные корни. Он позволяет выделить рациональную часть интеграла.

Данный интеграл от рациональной функции следует представить в виде:

,

где многочлен имеет те же корни, что и , но кратности 1, , и правильные дроби, числители которых определяются методом неопределенных коэффициентов.

Многие интегралы от иррациональных функций удается преобразовать в интегралы от рациональных функций с помощью различных подстановок.

I. Интегралы вида , где Q, R, , некоторая рациональная функция.

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки:

, где общий знаменатель чисел .

II. Интегралы вида , где .

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера:

1) ;

2) ;

3) , где один из корней квадратного трехчлена .

Подстановки Эйлера обычно приводят к громоздким вычислениям. Поэтому для интегралов вида II иногда применяют другие методы. Например, интегралы вида , где многочлен степени n, следует представить в виде:

,

где коэффициенты и находят методом неопределенных коэффициентов (сначала надо продифференцировать обе части последнего равенства, а затем умножить его на и приравнять коэффициенты при равных степенях .

Интегралы вида подстановкой сводятся к интегралам предыдущего вида.

III. Интегралы вида , где R, Q, называются интегралами от дифференциального бинома.

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками в трех случаях:

1) если Z, то , где общий знаменатель чисел и ;

2) если Z, то , где знаменатель числа ;

3) если Z, то , где знаменатель числа .