Типовые распределения вероятностей

Рассмотрим важнейшие свойства тех законов распределения вероятностей, которые чаще всего используются в математической статистике для проверки гипотез и в других приложениях.

4.5.1. c²-распределение Пирсона (хи-квадрат).

Def. Пусть имеем набор независимых нормально распределенных случайных величин x_i с параметрами а = 0, s = 1. Тогда скалярная случайная величина имеет распределение Пирсона с n степенями свободы (n – параметр распределения). Будем обозначать это hÎc²(n).

4.5.2. t-распределение Стьюдента и F-распределение Фишера

Def.Пусть ХÎN(0, 1) и Y_nÎc²(n) – независимые СВ. Тогда СВ

Имеет t-распределение Стьюдента с n степенями свободы.

Def.Пусть Х_nÎc²(n) и Y_mÎc²(m) – независимые СВ. Тогда СВ имеет F-распределение Фишера с n и m степенями свободы.

Рассмотрим два приложения t- и F-распределений к проверке статистических гипотез.

1. Пусть имеем выборку Х₁, …, Х_N, Х_j Î N(a, s²). Тогда СВ имеет t-распределение Стьюдента с N – 1 степенями свободы.

Это означает, что если СВ Х распределена нормально, то статистика Т может быть использована в качестве статистического критерия проверки гипотезы вида Н₀: M[X] = a, где а – заданное число, причем знание s не требуется.

Пример. Масса Х пачки печенья должна быть равна 200 г. Выборочное взвешивание 25 пачек дало следующие оценки = 196.64 г, s² = 36 г². Выдерживается ли заданный вес пачки?

Решение. Выдвигаем гипотезу Н₀: M[X] = 200. = –2.8. При a = 0.05 получаем V_КР = (– ¥, –Т_КР), где Т_КР = СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 24) = 2,06. Значит Т_ВЫЧ ÎV_КР и гипотеза не верна, на фабрике не выдерживают необходимые параметры.

2. Пусть имеем две выборки: Х₁, …, Х_n; Х_j Î N(a₁, ) и Y₁, …, Y_m; Y_i Î N(a₂, ). Пусть , . Тогда СВ имеет F-распределение с n – 1 и m – 1 степенями свободы. В частности, при такое же распределение имеет СВ .

Таким образом СВ F можно использовать в качестве статистического критерия проверки гипотезы с критической областью ( FРАСПОБР(1 – a; n –1; m – 1); + ¥).

4.6. Регрессионный анализ: исследование свойств уравнения регрессии