Основные понятия математической статистики

Задача математической статистики состоит в разработке методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Пусть x – некоторая случайная величина (СВ).

Def. Выборкой величины x объема N называют набор из N независимых СВ x₁, … x_N, распределенных также, как x.

Иными словами, выборка – это N независимых экземпляров СВ x.

Def. Статистика – это некоторая функция выборки j( x₁, … x_N).

Поскольку статистика зависит от набора случайных величин, то она сама является случайной величиной, а значит, имеет числовые характеристики, такие как математическое ожидание, дисперсия и др.

Def. Пусть q – некоторый параметр СВ x, а Q – область его значений (qÎQ). Точечной статистической оценкой параметра q называется любая статистика = ( x ₁, … x _N), принимающая значения из области Q.

Основное назначение статистических оценок – давать приближенное значение для оцениваемого параметра, найденное по реализации выборки. Для того, чтобы это приближение было “хорошим”, статистические оценки должны обладать определенными свойствами.

Пусть – статистическая оценка параметра q. Допустим, что по некоторой реализации выборки получено ее числовое значение . Повторяя опыты, т.е. получая другие реализации выборки, мы сможем определить другие значения – , которые, вообще говоря, между собой различны. Следовательно, статистическую оценку надо рассматривать как случайную величину, имеющую определенный закон распределения и числовые параметры – математическое ожидание, дисперсию и т.д. (Этого следовало ожидать, т.к. оценка представляет собой некоторую функцию случайных величин – элементов выборки).

Представим себе, что некоторая оценка постоянно дает значение параметра с избытком. Ясно, что в этом случае и математическое ожидание такой оценки (как случайной величины) будет больше истинного значения параметра. Использование такой оценки привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. Поэтому естественно потребовать, чтобы математическое ожидание статистической оценки было равно истинному значению оцениваемого параметра, т.е. .

Def. Статистическая оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра, называется несмещенной.

Примеры статистических оценок. Рассмотрим несколько важных примеров статистических оценок.

1. Оценка = (x₁ + … + x_N) / N (x среднее) – оценка математического ожидания.

Свойства .

а) M[] = M[x], т.е. она является несмещённой.

б) D[] = D[x] / N.

2. Оценка – оценка дисперсии.

Свойстваs².Оценка s² является несмещенной. (Можно доказать, что если бы делили на N, то получили бы смещённую оценку).