Примеры основных законов распределения непрерывных СВ.

Свойства f(x).

Свойства F(x).

1. F(х) – неубывающая функция, удовлетворяющая условию 0 £ F(x) £ 1, F(–¥) = 0, F(¥) = 1.

2. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [a, b] равна: P(a £ x £ b) = F(b) – F(a).

Def. Плотностью распределения случайной величины x называется функция f(x) = f_x (x) = F’(х).

1. 0 £ f(x) для любого х.

2. Формула обращения: .

3. – аналог свойства 2 F(x).

4. – условие нормировки.

Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения СВ является её исчерпывающей характеристикой. Однако получить его достаточно трудно. Поэтому часто для изучения свойств СВ используют их числовые характеристики (параметры).

Def. Числовые характеристики (параметры) СВ – некоторые неслучайные величины, значения которых характеризует определённое свойство СВ.

Примеры параметров СВ.

1. Математическое ожидание (МО) – характеризует среднее значение, принимаемое СВ (центр тяжести).

Вычислительные формулы:

М[x] = m_x = – для дискретной СВ;

М[x] = m_x = – для непрерывной СВ.

2. Дисперсия. – характеризует среднюю величину разброса значений СВ относительно МО.

Вычислительные формулы:

D[x] = – для дискретной СВ;

D[x] = D_x = – для непрерывной СВ.

1. Равномерный закон – вероятностная характеристика случайной величины x, равномерно распределенной на интервале [a, b]. Плотность распределения имеет вид:

Вероятность попадания значений СВ x в любую область длины D из отрезка [a,b] равна D/(b-a) и, следовательно, не зависит от размещения этой области в пределах отрезка [a,b].

Функция распределения СВ

Математическое ожидание: ; дисперсия: .

2. Нормальный закон. СВ h распределена по нормальному закону с параметрами m и s (s >0), если ее плотность имеет вид

Известно, что М[h]=m, D[h]=s².

График: