МОДУЛЬ 2: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция 8. Производная функции в точке, ее физический смысл, *экономический смысл (для ИБМ). Касательная, геометрический смысл производной. Бесконечная производная и её геометрическая интерпретация. Дифференцируемость функции в точке, эквивалентность дифференцируемости существованию в точке конечной производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Основные правила нахождения производных: производная постоянной, суммы, произведения и частного; производная сложной и обратной функций (доказать два из них).

Лекция 9. Вывод производных основных элементарных функций. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциалов. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков.

Лекция 11. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей вида (док-во только для [0/0]). Раскрытие неопределенностей других видов. Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций в бесконечности.

Лекция 12. Понятие многочлена Тейлора степени п для данной функции в точке х₀. Совпадение значений в точке х₀ функции и её многочлена Тейлора, а также их первых п производных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано (без доказательства). Формула Маклорена и представление по этой формуле некоторых элементарных функций.

Лекция 13. Использование формул Тейлора и Маклорена в приближенных вычислениях и для нахождения пределов. Достаточное условие монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки функции. Достаточные условия экстремума: (а) по первой производной, (б) по второй производной, (в)* по производной высшего порядка (без доказ).

Лекция 14. Понятие выпуклости (вверх, вниз) функции (её графика) на промежутке. Достаточное условие выпуклости (графика) дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба графика в точке, достаточное условие. Схема полного исследования и построения графика функции.

Лекция 15. Векторная функция скалярного аргумента, ее годограф. Уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Предел и непрерывность векторной функции. Производная векторной функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной к пространственной кривой. Правила дифференцирования векторной функции (без док-ва). Теорема о производной векторной функции постоянной длины, ее геометрическая интерпретация.

Лекция 16. Длина дуги кривой. Производная и дифференциал длины дуги плоской и *пространственной кривой, геометрический смысл дифференциала длины дуги плоской кривой. Кривизна и радиус кривизны плоской и *пространственной кривой. Центр и окружность кривизны плоской кривой. Понятия об эволюте и эвольвенте, их свойства (без док-ва).

Лекция 17. Резерв.

Примечание. Вопросы, помеченные звёздочкой, лектор излагает на свое усмотрение