Модуль 1: Элементарные функции и пределы

МатематичЕский анализ

Календарный план для ИБМ, РК и МТ

ЛЕКЦИИ (2 часа в неделю)

Лекция 1. Введение в курс. логическая символика, кванторы. Необходимое условие, достаточное условие, критерий. Теорема как импликация. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними. Множество R действительных чисел, его полнота. Промежутки; Принцип вложенных отрезков. Ограниченные и неограниченные множества в R. Точные верхняя и нижняя грани множества. Функция (отображение), инъективные, сюръективные и биективные отображения. Числовая функция и ее график. Композиция функций, обратная функция и её график. Класс элементарных функций.

Лекция 2. Числовая последовательность и ее предел, геометрическая интерпретация предела. Сходящиеся последовательности. Предел постоянной, единственность предела, необходимое условие сходимости (ограниченность), достаточное условие сходимости (монотонность и ограниченность, без док-ва). Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Число е. Натуральные логарифмы. Гиперболические функции.

Лекци 3-4.Окрестности конечной точки и бесконечности. Различные типы стремления действительного аргумента и соответствующие им семейства окрестностей. Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическая интерпретация предела для конкретных случаев. Связь между пределами функции при двустороннем стремлении и соответствующих односторонних стремлений аргумента. Общиесвойства предела функции: 1) единственность предела; 2) замена переменной в пределе и предел сложной функции; 3) локальная ограниченность функции, имеющей предел; 4) локальная знакоопределенность функции, имеющей ненулевой предел; 5) предельный переход в неравенстве; 6) предел промежуточной функции (доказать только 2-3 свойства). Бесконечно малые функции при данном стремлении аргумента. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой, свойства бесконечно малых функций. Арифметические теоремы о пределах (доказать одну). Определение бесконечно большой функции при данном стремлении аргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для конкретных стремлений. Связь бесконечно большой и бесконечно малой функций.

Лекция 5. Замечательные пределы и их следствия. Сравнение функций при данном стремлении, отношения эквивалентности и «о-малое», связь между ними, их свойства и применение для вычисления пределов. Порядок малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении. Главная часть функции стандартного вида при данном стремлении аргумента.

Лекция 6. Непрерывность функции в точке, равносильные формулировки. Односторонняя непрерывность в точке. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность суммы, произведения, частного и композиции двух непрерывных функций (доказать два свойства). Теорема о непрерывности основных элементарных функций (доказательство для синуса). Непрерывность элементарной функций в области её определения. Локальные свойства функции , непрерывной в точке х₀: (а) локальная ограниченность и (б) локальное знакопостоянство (если ) (доказать одно из них).

Лекция 7. Непрерывность функции на промежутке, в частности, на отрезке. Теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке, теорема о непрерывности обратной функции (без доказательства). Точки разрыва функции и их классификация. Нахождение асимптот графика функции. .