Гладкость кривых

Рис. 1.График функции у = sinx

Параметрическое представление функции

Вы знаете, что кривые можно представлять аналитически и графически. График тригонометрической функции у = sin х изображен на рис. 1.

Такой способ представления формулы и ее графика называется явным. Он позволяет легко строить график. Однако у этого способа с точки зрения графического представления имеются следующие недостатки:

· Каждому значению х соответствует только одно значение у. Это не дает возможности начинать новый фрагмент кривой в произвольном месте.

· Кривая не может быть замкнутой.

Поэтому явный способ представления не может применяться там, где требуется описание произвольных кривых, размещаемых в произвольных местах на плоскости. Альтернативным способом является определение кривой как параметрической функции.

Параметрическое представление функции — это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных, которые называют параметрами.

В общем случае такая зависимость получает вид:

q(t) = {x(t), y(t)}, где х(t) и y(t) — функции параметра t.

Задавая одинаковые значения t[5], функция x(t) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) — значения координаты у.

Особенности параметрических кривых:

1. Обе координаты (x, y) являются равноправными: вычисляются как функции вспомогательного параметра;

2. Они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения;

3. Такое представление важно для пространственных кривых, поскольку обеспечивает более легкий способ построения графиков;

4. Применение параметрических функций позволяет применять более сложные функции, а не только линейную аппроксимацию. (Одним из основных недостатков аппроксимации прямыми является наличие угловых изгибов, которые даже при относительно невысоком увеличении не создают впечатления гладкости)

Поэтому неизбежной заменой прямолинейным сегментам могут быть только кривые, которые способны обеспечить требуемую гладкость (Речь идет о кривых Безье и NURBS-кривых). Но сначала необходимо определить понятие гладкости.

Одной из самых важных причин выбора в качестве средств векторной графики кривых Безье и NURBS-кривых является управляемая гладкость. Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель и резких преломлений (тем более разрывов). Но при этом, не исключена возможность создания как гладкого сопряжения, так и изгибов, например острых углов. Примером такого сочетания гладких кривых и острых преломлений являются профили авиакрыла.

Если касательная в соседних точках не меняет резко своего направления, такую кривую считают гладкой (рис. 2).

Если на кривой имеется излом, то направление касательной в точке Q меняется мгновенно (рис. 3).

Рассмотрим основы построения гладких кривых, применяющихся в векторной компьютерной графике. NURBS-кривые являются более общим и, соответственно, более сложным случаем таких кривых.