А В А или В

А В А и В

А не А

С или В - истинноС или В

Не А - неверно суждение А

Основные логические операции

Суждения в математической логике могут быть простыми и сложносоставными.

Сложносоставные суждения в математической логике образуются из простых с помощью логических связоки, илиине, выражающих три основных логических операции:

логическая связкане -отрицание суждений;

логическая связкаили - конъюнкция суждений;

логическая связкаи -дизъюнкция суждений.

Примеры сложносоставных суждений:

(х > 0) и (у > 0) - (х больше 0) и (у больше 0)

(глаза = синие)или (глаза = голубые)

Логическая связка не используется для выражения отрицаний. Примеры:

не (глаза = синие), - неверно, что глаза синие

не (Аили В), - неверно, что выполняется А или В

не (любит (Саша, конфеты)) - неверно, что Саша любит конфеты

Наглядной иллюстрацией этих логических связок с предикатами служат следующие диаграммы:

Отрицание не А истинно или ложно в зависимости от истинности исходного суждения А. Свойства отрицания не как логической связки можно описать таблицей истинности:

Таблица истинности:

Свойства отрицаний:

НЕ1:Отрицание ложно, если суждение истинно.

НЕ2:Отрицание истинно, если суждение ложно.

Для понимания отрицаний важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их позитивные переформулировки:

не (х = 0) º (х ¹ 0)

не(х ¹ 0) º (х = 0)

не (х > 0) º (х £ 0)

не (х < 0) º (х ³ 0)

не (х ³ 0) º (х < 0)

не (х £ 0) º (х > 0)

Логическая связка и в математической логике называется конъ­юнкцией. Таблица истинностиконъюнкции:

Свойства конъюнкции:

КонъюнкцияА и Вистинна, когда истинны оба суждения.

КонъюнкцияА и Вложна, когда ложно хотя бы одно из суж­дений А или В.

Логическая связкаили в математической логике называется дизъ­юнкцией. Таблица истинностидизъюнкции:

Свойства дизъюнкции:

Дизъюнкция А или Вистинна, когда истинно любое из суждений А или В.

Дизъюнкция А или Вложна, когда ложны оба суждения А и В.

Одной из важнейших логических связок математической логики является импликация А ® В. Эта связка в математической логике используется для определения правил логического вывода.

Импликация А ® В - это логическое следование. Импликация А ® В читается: «если А, то В». Первое суждение в импликации называется посылкой, а второе суждение - следствием.

Приведем примеры правил логического вывода:

а) с использованием высказываний:

если «на улице дождь», то «на улице мокро»,

Таблица истинности импликации: