Матрицы достижимости

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВ

Важным вопросом, особенно для приложений теории графов, является определение возможных способов представления графов. Самый простой способ - полное перечисление множеств V и Е. Однако, очевидно, что в этом случае выявление у графа различных характеристик и свойств будет крайне затруднительным. Граф можно представить в виде некоторого графического изображения и визуально определить некоторые свойства и характеристики заданного графа. Однако, при наличии в графе'большого числа ребер и вершин этот способ также мало пригоден. Рассматривая различные возможные способы представления графов, мы должны иметь в виду потребность ввода соответствующей информации в компьютер. В этой связи ввод информации в числовом виде предпочтителен, хотя современные технические средства допускают ввод и графической информации (таблиц, текста, графиков, рисунков и т.д.), после чего может производиться обработка такой информации.

Матрица смежности. Если вершины графа G помечены метками v1, v2,..., vn, то элементы матрицы смежности A(G) размера V, xV определяются следующим образом: A(i.j) = 1, если vi смежна с vj; A(ij) = 0 в противном случае (рис. 1.9, а).

Матрица инцидентности. Если вершины графа G помечены метками v1, v2,..., vm, а ребра - метками е1, е2,..., еп, то элементыматрицы инцидентности I(G) размера М х N определяются правилом: B(ij) = 1, если vi инцидентна ej; B(iJ) = 0 в противном случае (см. рис. б).

Рис. а. Матрица смежности Рис. б. Матрица инцидентности

Задач, в которых используется понятие достижимости, довольно много. Вот одна из них. Граф может быть моделью какой-то организации, в которой люди представлены вершинами, а дуги интерпретируют каналы связи. При рассмотрении такой модели можно поставить вопрос, может ли информация от одного лица х_i быть передана другому лицу х_j, т. е. существует ли путь, идущий от вершины х_i к вершине х_j. Если такой путь существует, то говорят, что вершина х_j достижима из вершины х_i. Можно интересоваться достижимостью вершины х_j из вершины х_i только на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины или длина которых меньше наибольшего числа вершин в графе и т. п. задачи.

Достижимость в графе описывается матрицей достижимости R=[r_ij], i, j=1, 2, ... n, где n – число вершин графа, а каждый элемент определяется следующим образом:

r_ij=1, если вершина х_j достижима из х_i,

r_ij=0, в противном случае.

Множество вершин R(x_i) графа G, достижимых из заданной вершины x_i, состоит из таких элементов x_j, для которых (i, j)-й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрице R равны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой путeм длины 0. Поскольку прямое отображение 1-го порядка Г⁺¹(x_i) является множеством таких вершин x_j, которые достижимы из x_i с использованием путей длины 1, то множество Г⁺(Г⁺¹(x_i)) = Г⁺²(x_i) состоит из вершин, достижимых из x_i с использованием путей длины 2. Аналогично Г^+p(x_i) является множеством вершин, которые достижимы из x_i с помощью путей длины p.

Умножение матриц

Даны матрицы A и B, C=A*B, где

Посчитаем элементы матрицы C:

Таким образом: