Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

№ 4

№ 3

№ 2

№ 1

Ряд динамики –ряд, расположенных в хронологическом порядке значений показателя, характеризующий изменение явления во времени. Элементы ряда динамики:

1. Уровень ряда – Y, т.е. числовые значения показателя, характеризуемого ряд динамики.

2. Показатели времени – t.

В зависимости от того, как выражены уровни РД различают ряды динамики абсолютных, относительных и средних величин.

В зависимости от того, как представлены показатели времени, различают периодические и моментные ряды динамики.

Для характеристики рядов динамики в статистике используют показатели:

· абсолютные приросты;

· темпы роста;

· темпы прироста;

· абсолютное значение 1% прироста.

Каждый из этих показателей может быть исчислен как цепной, так и базисный.

Цепные показатели рассчитываются сопоставлением каждого из уровней ряда динамики с его предшествующим . Базисные показатели определяются сопоставлением каждого уровня ряда динамики с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, обычно начальным уровнем ряда динамики .

Абсолютный прирост характеризует абсолютную скорость изменения уровня ряда динамики в единицу времени и определяется как разность сравниваемых, сопоставляемых уровней.

- цепные абс. приросты - базисные абс. приросты

Абсолютный прирост измеряется в тех же единицах, что и уровни ряда динамики. Между цепными и базисными абсолютными приростами существует отношение: сумма цепных абсолютных приростов равна базисным за соответствующий период.

Темп ростав РД характеризует относительную величину уровня ряда по сравнению с базисной величиной.

-цепные темпы роста -базисные темпы роста

Темпы роста рассчитываются в % или коэффициентах.

Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в коэффициентах, существует соотношение: произведение цепных темпов роста равно базисному за соответствующий период.

Темп прироста в РД характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени и определяется соотношением абсолютного прироста к уровню, принятого за базу сравнения.

-цепные темпы прироста -базисные темпы прироста

Темп прироста может быть выражен в доле к 1, в %.

Между темпами роста и прироста существует взаимосвязь: (или 100%)

Абсолютное значение 1% прироста характеризует вещественное содержание 1% прироста. Оно рассчитывается отношением абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в %.

Абсолютное содержание 1% прироста выражается в тех же единицах измерения, что и сами уровни ряда динамики.

Средние характеристики ряда динамики дают обобщенную характеристику динамики изучаемого явления за весь период, к которому относится ряд динамики. Такими характеристиками являются:

· средний уровень ряда динамики;

· средний темп роста;

· средний абсолютный прирост;

· средний темп прироста;

· среднее содержание 1% прироста.

Средний уровень в интервальных рядах динамики () исчисляется по формуле средней арифметической простой:

, где

y — уровни ряда (y₁, y₂ ,...,y_n),

n — число периодов (число уровней ряда).

В моментных рядах динамики с равными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней хронологической:

§ y -уровни моментного ряда;

§ n -число моментов (уровней ряда);

§ n — 1 — число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

В тех случаях, когда имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами времени, а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала надо вычислить среднюю величину () для каждого интервала времени по формуле средней арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики, взвесив исчисленные средние величины продолжительностью соответствующего интервала времени . Формулы имеют следующий вид:

Среднегодовой темп роста исчисляется в следующей последовательности:

1. сначала по формуле средней геометрической исчисляют среднегодовой коэффициент роста (снижения) —

2. на базе среднегодового коэффициента определяют среднегодовой темп роста () путем умножения коэффиицента на 100%:

Среднегодовой темп прироста ( определяется путем вычитания из темпа роста 100%.

Среднегодовой коэффициент роста (снижения) по формулам средней геометрической может быть исчислен двумя способами:

1) на базе абсолютных показателей ряда динамики по формуле:

n — число уровней;

n — 1 — число лет в период;

2) на базе ежегодных коэффициентов роста по формуле

m — число коэффициентов.

Абсолютная скорость роста (снижения) уровня - абсолютный прирост за единицу времени с переменной базой.

Абсолютное ускорение - разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период одинаковой дли­тельности:

Абсолютное ускорение может быть:

1) положительное число;

2) отрицательное число.

Абсолютное ускорение показывает, насколько увеличилась (уменьшилась) скорость изменения показателя. Показатель ускорения применяется для цепных абсолютных приростов. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

Абсолютные приросты для любых рядов динамики являются интервальными показателями, т. е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Рассмотрим пример.

Таблица 1

Объем производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам, т.е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

Таблица 2

Объем производства продукции предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной:

5,23<5,57<5,87<6,03 млн. руб.

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа (обычно нечетного), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

Таблица 3

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явлений, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

- уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических уровней производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом отражает основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются:

линейная функция – прямая:

, где

- параметры уравнения;

t – время;

показательная функция:

степенная функция – кривая второго порядка (парабола):

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии.

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой.

Параметры согласно методу наименьших квадратов находят решением системы нормальных уравнений:

где у – фактические (эмпирические) уровни ряда;

t – время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если на начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней, (например, 6) значения t – условного обозначения времени – будут такими:

При нечетном числе уровней, (например, 7) значения t – условного обозначения времени – будут такими:

В обоих случаях , так что система нормальных уравнений примет вид:

Из первого уравнения:

Из второго уравнения:

Таблица 4