Построение гармоник Фурье

Процедура общей декомпозиции временного ряда

Десезонализация данных и сезонное прогнозирование

Десезонализацией данных временного ряда называется устра­нение влияния сезонной компоненты на его уровни с целью изу­чения тренда и долговременных циклических изменений. Десе-зонализированные данные (d_t) определяются как отношение:

d_t = y_t / I_сез = T(t) × S(t) × Z(t) ×e(t) / I_сез = T(t) × Z(t) ×e(t)

Процедуру общей декомпозиции временного ряда можно представить в виде совокупности следующих этапов:

Этап 1.Определение методом отношения к центрированной скользящей средней сезонного индекса I_сез для каждой части года. Для квартальных данных вычисления сводятся к нахожде­нию четырех квартальных индексов I₁, I₂, I₃ и I₄ В случае ме­сячных наблюдений определяется 12 индексов (I₁, I₂, ..., I₁₂) (для каждого месяца свой индекс).

Этап 2.Десезонализация данных. Этот этап заключается в выравнивании эффекта сезонности, т.е. исключении сезонной компоненты. Десезонализация осуществляется делением каж­дого фактического уровня на соответствующий сезонный ин­декс:

d_t = y_t / I_сез

где: I₁, I₂, I₃ и I₄ - квартальные данные;

I₁, I₂, ..., I₁₂ - месячные данные.

Этап 3.Определение тренда T(t). Оценка тренда осуществля­ется по методу наименьших квадратов на основе десезонализи-рованных данных d_t.

d_t = y_t / I_сез = T(t) × S(t) × Z(t) ×e(t) / I_сез = T(t) × Z(t) ×e(t)

Этап 4.Определение циклической компоненты Z(t). Эта ком­понента определяется делением каждой десезонализированной компоненты d_t на соответствующее значение тренда, получен­ное на этапе 3:

d_t/T(t) = T(t) × Z(t) ×e(t) / T(t) = Z(t) ×e(t)

Для исключения нерегулярной компоненты можно вычис­лять, например, трехпериодные скользящие средние для вели­чин Z(t) ×e(t)/ В этом случае эффект нерегулярной компоненты зна­чительно сокращается. Выбор именно трехлериодной скользящей средней был произволен/ Он был связан с тем, что в случае нечетного числа слагаемых скользящей суммы скользящие сред­ние не надо центрировать.

Французский математик Фурье разработал механизмпреобразования периодических функций в ряд тригонометрический уравнений, называемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих сунусоидальную форму. Исходным рядом для преобразования Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколько лет, а уже усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные колебания [стр. 107, афанасьев]. В качестве аналитической формы выравнивания во времени применить ряд Фурье.

m – число гармоник

k – номер гармоники

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Для отыскания параметров уравнения используется ме­тод наименьших квадратов. Получим формулы для вычисления параметров:

Параметры уравнения зависят от значений y и свя­занных с ним последовательных значений соs kt и sin kt.

Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необ­ходимо взять n=12 (по числу месяцев в году).