Подсчета числа верных знаков

И относительной погрешности с числом верных знаков. Правила

Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной

Всякое положительное десятичное число а может быть

единственным образом представлено в виде конечной или бесконечной

десятичной дроби:

= α ⋅ + α ⋅ −1 +K+ α ⋅ − +1 +K

1 10 2 10 10 т п

п

а т т (1.5)

или Σ=

= α ⋅ − +

n

i

m i

а i

10 1 (1.6)

где αi - десятичные цифры (αi = 0,1,2,K,9), причем α1 ≠ 0 , т –

некоторое число (старший разряд числа а). Например, в десятичной

системе счисления:

, .

, ;

, , ;

3 4 5 6

0 1 2

1 0 1 2 3 4

0 006783 6 10 7 10 8 10 3 10

7 54 7 10 5 10 4 10

28 0496 2 10 8 10 010 4 10 9 10 6 10

− − − −

− −

− − − −

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

Значащими цифрами числа а называют все цифры в

его записи (1.5) начиная с первой слева, отличной от нуля. Например,

приводимые ниже числа имеют следующее количество значащих цифр:

5423,47 6 значащих цифр,

0,0000605 3 значащие цифры,

0,060500 5 значащих цифр.

Как видно из приведенных примеров, цифра 0 имеет особое значение

при определении числа значащих цифр. Например, в числе 0,00710300

первые три нуля не являются значащими цифрами и служат только для

установления старшего десятичного разряда числа. Остальные три

являются значащими цифрами, так как первый из них находится между

значащими цифрами, а второй и третий, как отражено в записи,

указывают, что в приближенном числе сохранены десятичные разряда

10-7 и 10-8. Если же в данном числе 0,00710300 последние две цифры не

являются значащими цифрами, то это число лучше записать в виде

0,007103. Числа 0,00710300 и 0,007103 не равноценны, так как первое из

них имеет 6 значащих цифр, а второе – только 4 значащих цифры.

Цифра 0, стоящая в конце числа, может иметь двоякий смысл, как это

видно из следующих утверждений:

а) 1 кг = 1000 г;

б) население США по одной из переписей составляло 195530000

человек

В первом случае имеем точное соотношение, поэтому все нули здесь

– значащие цифры. Во втором случае нули стоят вместо неизвестных

цифр, и число имеет только 5 значащих цифр. Для того чтобы избежать

недоразумения, никогда не следует писать нули вместо неизвестных

цифр, а лучше применять такую форму записи:

19553 ⋅104 или 1,9553 ⋅108

Пример 5. Пусть в результате измерения получено число, имеющее

две значащие цифры, l = 72 мм. Если этот результат, не измеряя отрезок

с большей точностью, выразить в метрах, километрах или микронах и

написать, что l =0,072 м, или l =0,000072 км, или l =72000 мкм, то нули

ни в первом, ни во втором, ни в третьем случаях не будут значащими. В

дальнейшем условимся различать такие числа, как 7,2; 7,20; 7,200.

Все они выражают одно и то же числовое значение некоторой

величины, но определены с разным количеством значащих цифр.

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих

цифр, а от количества верных значащих цифр. Различают значащие

цифры верные в узком и широком смыслах.