Приближенное полиномиальное уравнение регрессии

Множественная регрессия

Пусть дана система случайных величин X₁,X₂,...,X_k,Y. Попытаемся отыскать зависимость вида

(9)

Найдем математическое ожидание от обеих частей уравнения (9)

(10)

Вычтем

(11)

Введем меру отклонения

(12)

Предположим, что знак математического ожидания и дифференцирования можно менять местами. После дифференцирования получим систему

. . . . . . . . . . . (13)

Мы получили систему из k уравнений с k неизвестными. Матрица коэффициентов системы называется ковариционной матрицей. Если каждый коэффициент матрицы разделить на произведение соответствующих среднеквадратичных отклонений, то получим корреляционную матрицу. Решим систему (13) и найдем коффициенты при неизвестных равенства (9). Подставим найденные значения в (10) и найдем b. А затем построим зависимость (9). Уравнение (9) называется уравнением множественной регрессии, Для статистического исследования системы случайных величин X₁,X₂,...,X_k,Y. Проведем n наблюдений над случайными величинами. В результате получим выборку объема n, которую удобно представить в виде таблицы

Построим по этой таблице ковариации величин системы (13) и найдем уравнение множественной регрессии.

Часто требуется зависимость зависимости между случайными величинами X и Y в виде некоторого полинома (многочлена) вида

Y=a₀+a₁X+a₂X²+... + a_nXⁿ.

Этот случай сводится к рассмотренной схеме множественной регрессии с помощью следующего приема. Вводится система величин

X₀ =X⁰, X₁ =X¹, X₂ =X²,..., X_n =Xⁿ.

После этого проводим корреляционный анализ по схеме множественной регрессии и находим коэффициенты многочлена.