Дискретное преобразование Лапласа

Теорема. Непрерывный сигнал x(t), преобразование Фурье которого ограничено частотой и тождественно равно нулю вне интервала (-,), однозначно задан значениями x(nT) (n=0, ), если частота квантования больше 2. При этом непрерывный сигнал может быть восстановлен из дискретной последовательности по формуле

Квантование непрерывных сигналов

Вычислительная машина, реализующая алгоритм управления или выполняющая иные задачи обработки информации, требует для выполнения этих операций определенного времени. Другими словами, по самой своей природе цифровая техника имеет дело не с непрерывным сигналом x(t), а с дискретной последовательностью (выборкой) значений (отсчетов) этого сигнала , (k= 0,1,2,…). Преобразование непрерывного сигнала в дискретную последовательность составляет процесс квантования по времени, который может выполняться как с постоянным шагом T , когда (синхронные процессы), так и с изменяющимся по разным причинам шагами (асинхронные процессы). Временной интервал T называют шагом или периодом квантования, которому соответствует частота квантования (рад/c).

Шаг квантования оказывает существенное влияние на характеристики системы и потому является важным параметром при проектировании цифровых систем управления. Выбор шага квантования будет подробно обсуждаться ниже, а в настоящем разделе исследуются некоторые важные особенности процесса квантования и принципиальная возможность использования дискретной выборки без потери информации.

Ответ на вопрос о выборе частоты квантования, которая позволяла бы сохранять всю информацию о непрерывном сигнале, дается следующей теоремой Котельникова [], в зарубежной литературе больше известной как теорема отсчетов Шеннона [].

(1)

Для доказательства теоремы запишем сначала прямое и обратное преобразования Фурье для непрерывного сигнала

(2)

(3)

и на основе X(j) построим функцию

(4)

Как нетрудно видеть, это - периодическая функция с периодом j, которую можно представить рядом Фурье

, (5)

где коэффициенты Фурье вычисляются по известному правилу

(6)

Подставляя в последнее выражение соотношение (4) с учетом (3), непосредственными вычислениями убеждаемся, что коэффициенты Фурье

(7)

являются значения исходной функции в тактовые моменты времени, а построенная функция

(8)

однозначно определяется совокупностью дискретных значений непрерывного сигнала.

По предположению значения X(j) равны нулю на частотах вне интервала (-,). Поэтому из (4) при выполнении условий теоремы заключаем, что

X(j)= (9)

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье и его представлением (9), исходную непрерывную функцию можно записать сначала в виде

==

Меняя порядок интегрирования и суммирования, после вычисления определенного интеграла получим искомое представление непрерывной функции через ее отсчеты в дискретных точках

=

=

Теорема Котельникова позволяет определить минимальное значение частоты квантования в зависимости от диапазона рабочих частот системы и является отправной точкой при назначении периода квантования .

Постоянный прогресс вычислительной техники и, частности, повышение быстродействия процессоров на первый взгляд размывает разницу между непрерывными и дискретными системами. Однако, как видно из (4), квантование вносит в систему новое качество. Частотная характеристика становится периодической функцией. При выполнении условий теоремы спектр непрерывного сигнала тиражируется по частоте. Одна и та же временная последовательность x(nT) (n=0, ) может, например, описывать сколь угодно много гармонических сигналов, отличающихся по частоте на величину, кратную частоте квантования. (Говорят, что частота «поглощает» частоты ).

С другой стороны, высокочастотные шумы, которые при ограниченной полосе пропускания отфильтровывались и не оказывали влияния на систему управления, из-за квантования проявляются в виде новых низкочастотных помех, ухудшающих характеристики качества дискретной системы. Отметим поэтому, что перед квантованием для аналоговых сигналов часто приходится использовать дополнительные фильтры.

Возможность восстановления непрерывного сигнала, гарантируемая соотношением (1), носит скорее теоретический характер и на практике не используется. Кроме достаточно сложной конструкции, здесь нарушаются причинно-следственные связи: в каждый момент времени для восстановления непрерывного сигнала требуются не только предыдущие, но и последующие отсчеты. В цифровых системах управления, работающих в реальном времени, соотношение (1) непригодно. Исключение составляют задачи интерполяции, когда готовая последовательность квантованных сигналов обрабатывается для получения аппроксимирующей функции.

Ряд (5) с коэффициентами (7) фактически определяет дискретное преобразование Фурье, которое может применяться для описания дискретных сигналов в частотной области. Наряду с представлением сигналов как функций времени, частотные и операционные методы получили широкое распространение в управленческой практике как эффективные средства для описания и решения задач управления.

Просто применить преобразование Лапласа

(10)

к дискретной последовательности (решетчатой функции) не удается. Интеграл тождественно равен нулю (преобразуемая функция имеет меру нуль).

Традиционный подход предполагает наделение решетчатой функции необходимой «мощностью». Вместо решетчатой функции используется модулируемая ей последовательность дельта-функций

(11)

Физическая интерпретация такого подхода связывается с применением для квантования сигналов импульсов конечной длительности. Если эти импульсы достаточно узкие сравнительно с периодами квантования и частот непрерывного сигнала, то модулированная непрерывным сигналом последовательность этих импульсов ведет себя подобно рассмотренной выше последовательности дельта-функций (с множителем, пропорциональным длительности импульсов).

Преобразуя по Лапласу последовательность , получают дискретное преобразование Лапласа для решетчатой функции

(12)

Преобразование (12) можно рассматривать как некоторое «новое» представление дискретной функции в комплексной области (по определению), но методически удобно считать его частным случаем преобразования Лапласа для непрерывных систем.

Пример 1. Для единичной ступенчатой функции 1(t) по формуле бесконечной убывающей прогрессии получим изображение

<1 (13)

Через здесь обозначено дискретное преобразование Лапласа.

Пример 2. Точно так же для экспоненциальной функции легко найти ее изображение

(14)

Вычисление изображений с помощью рядов по формуле (12) затруднительно. Уже для линейно возрастающей функции при суммировании придется применять некоторые специальные приемы. Поэтому вместо суммирования для вычисления изображений можно предложить другую, интегральную, зависимость.

Модулированную последовательность (11) можно рассматривать как произведение исходной функции времени x(t) на f(t), где

(15)

Преобразование по Лапласу произведения является сверткой в комплексной области

(16)

Изображение функции f(t), как нетрудно заметить, совпадает с выражением (13). Поэтому для дискретного преобразования Лапласа решетчатой функции x(nT) из (16) получается искомое представление через изображение непрерывной функции X(s)

(17)

Вертикальная ось интегрирования здесь разделяет особенности функций X(p) и F(s-p), что обеспечивается выбором абсциссы сходимости c (c=Re p). Поэтому вычислять интеграл (17) можно либо, замыкая контур интегрирования слева, в особенностях (полюсах) X(p), либо в полюсах функции F(s-p), замыкая контур справа.

Интегралы типа (17) вычисляются по известным [ ] правилам с помощью вычетов. Используя вычеты в полюсах X(s), получают удобную для аналитических расчетов («рабочую») формулу

в полюсах X(p) (18)

Читателю предлагается полезное упражнение убедиться в результатах примеров 1) и 2), воспользовавшись последней формулой. В этих примерах полюсы простые и вычеты в особенностях находятся из простого соотношения

(19)

Если полюс имеет кратность «r», вычет определяется дифференцированием

(20)

Пример 3. У линейной функции x(t)=t в изображения X(p)=1/полюс p=0

кратности 2. Поэтому, вычисляя вычет в кратном полюсе по формуле (20), для изображения линейной функции найдем

(21)

Иное выражение для связи изображения решетчатой функции с изображением соответствующей непрерывной функции получается при интегрировании в вычетами в полюсах функции F(s-p). Знаменатель подынтегрального выражения (17) обращается в нуль в точках

, (22)

образующих счетное множество простых полюсов. Для вычисления вычетов удобно воспользоваться формулой [ ]

(23)

Прямыми вычислениями нетрудно убедиться, что

.

Откуда, учитывая обход контура в отрицательном направлении (по часовой стрелке), получается искомое соотношение

. (24)

Последнее выражение является точным аналогом вышеприведенного соотношения (4) и играет важную роль в теории дискретных систем. Из него, в частности, видно, что вне зависимости от свойств непрерывной функции, изображение ее дискретного аналога (решетчатой функции) является периодической функцией с периодом Поэтому, все особенности функции в горизонтальной полосе комплексной плоскости от до тиражируются с отмеченным периодом, так что вся содержательная информация заключена в указанной полосе. Важным следствием последнего соотношения является утверждение теоремы Котельникова о минимальной частоте квантования, допускающей восстановление непрерывного сигнала.