Суммирование элементарных погрешностей производят алгебраически или вероятностным методом.

Погрешности выполняемого размера, вызываемые температурными деформациями звеньев технологической системы, изменяются во времени (или от количества обработанных деталей) по более сложному закону. В первоначальный период работы станка они растут, а после того как будет достигнуто тепловое равновесие технологической системы, они стабилизируются. Однако при частых перерывах или обработке деталей различных типоразмеров малыми партиями эта стабилизация нарушается.

Задача о распределении выпуска продукции по цехам

Задача об использовании ресурсов

Применение теории линейного программирования. Основные положения

Очевидно, что можно рассматривать как функцию распределения отказов.

Линейное программирование возникло в связи с рассмотрением вопросов о нахождении наивыгоднейших вариантов при решении различных задач. В этих задачах имеются большая свобода изменений различных параметров и ряд ограничивающих условий. Требуется найти такие значения параметров, которые с некоторой точки зрения были бы наилучшими.

К таким задачам относятся задачи:

1) нахождения наиболее рационального способа использования сырья и материалов,

2) определение наивыгоднейших производственных режимов,

3) повышение эффективности работы транспорта и т.п.

Для осуществления l различных технологических процессов Т₁...,Т_l заводу требуется m видов ресурсов S₁ ... S_m (сырье, топливо, материалы, инструмент и т.п.). Запасы ресурсов каждого вида ограничены и равны в₁...,в_m. Известен расход ресурсов на единицу продукции по каждому технологическому процессу. Требуется определить, в каком количестве выпускать продукцию каждого вида, чтобы доход от реализации этой продукции был максимальным.

Обозначим:

а_ij- расход ресурсов вида S_i на единицу продукции вида Т_j,

с_{j -} доход от реализации единицы продукции вида Т_j .

Все имеющиеся данные представим в виде таблицы положив для конкретности

l = 3, - различные технологические процессы ; m = 4 - ресурсы

Таблица 1-Запись исходных данных в задаче об использовании ресурсов

Обозначим через Х_i - количество единиц выпускаемой продукции вида Т_j. Ограничениями в этой задаче являются требования, чтобы расход ресурсов вида S_i на выпуск всех видов продукции не превышал имеющихся запасов

Эти ограничения легко превратить в уравнения, введя переменные Х_е+1 0, означающие неиспользованные ресурсы вида S_i. При этом получим

(1)

Доход от реализации выпущенной продукции - целевая функция

q^’= (2)

Оптимальным планом выпуска продукции будет такое неотрицательное решение системы уравнений (1), при котором целевая функция (2) будет максимальна.

План завода предусматривает за время Т выпуск следующих видов продукции:

А₁ в количестве N₁ штук;

А₂ в количестве N₂ штук;

.............................................

..............................................

А_m в количестве N_m штук.

Эти виды продукции могут выпускаться в r однородных цехах П₁,..., П_r.

Предполагаем, что ни один цех не может одновременно выпускать несколько видов продукции. Кроме того, задано:

а_ij - количество продукции А_i, выпускаемой в цеху П_i в единицу времени;

в_ij - стоимость единицы продукции вида А_i, выпущенной в цеху П_j

х_ij - время работы цеха П_j по выпуску продукции А_i.

Требуется найти такие значения х_ij, при которых стоимость выпускаемой продукции будет минимальной.

Ограничения:

1) время работы каждого цеха не должно превышать Т

2)количество выпускаемой продукции должно соответствовать номенклатуре

Целевая функция будет представлять собой общую стоимость выпущенной продукции. Если принять во внимание, что величина а_ij·в_ij ·x_ij представляет собой стоимость части продукции А_i, выпускаемой цехом П_j, то общая стоимость выпускаемой продукции

q=

Cогласно условиям задачи эта величина должна быть минимизирована при выполнении ограничений .

5.3 Транспортная задача

В пунктах Р₁,...,Р_е имеется однородный груз в количествах а₁,...,а_е. Его необходимо перевезти в пункты Q₁,...Q_r в количествах в₁,..., в_r так, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной. При этом предполагается, что количество требуемого груза равно имеющимся запасам.

Обозначим через Х_ij количество груза, перевозимого из пункта Р_i в пункт Q_j , а через С_ij - стоимость перевозки единицы этого груза.

В задаче имеются следующие ограничения:

1) количество груза, отправляемого из пункта Р_i на все пункты назначения, должно быть равно имеющимся запалам а_i

2) количество груза, прибываемого в Q со всех пунктов отправления, должно равняться потребности в_j

Целевая функция определяет полную стоимость перевозки всех грузов

Формулировка задачи остается прежней, если количество имеющегося груза превышает потребности. При этом вводится фиктивная станция назначения Q_r+1, на которую отправляется излишек груза в_r+1 со стоимостью перевозок

5.4 Технологические основы математических моделей процессов обработки деталей резанием

Математические модели позволяют выбрать оптимальный технологический процесс из множества вариантов с использованием научно обоснованных технологических предпосылок. При изложении материала по моделированию процессов обработки деталей резанием используем подходы, изложенные Н.М. Капустиным в работе /11/.

При разработке математических моделей станочных операций устанавливаются ограничения и выбирается целевая функция. Задачей моделирования является нахождение таких режимов обработки, которые обеспечивали бы заданное качество обрабатываемых деталей (выполнение ограничений) и приводили бы целевую функцию к экстремальному значению. Главными ограничениями будут: заданные погрешности выдерживаемого размера и формы поверхности, взаимного расположения поверхностей, заданная шероховатость поверхности. Эти ограничения действуют на завершающих переходах станочной операции. На черновых переходах, при снятии большие объемы металла с максимальными глубинами резания t_max и подачами S_max, ограничения определяются стойкостью режущего инструмента, прочностью инструментального материала, жесткостью державки для инструмента, мощностью главного привода станка и силой, допускаемой механизмом подачи. Режимы обработки (s и n) должны соответствовать паспортным данным станка. Во всех случаях n_{i min} n£ n_{i max}; v_{i min} £ v_i £ v_imax; s_{j min} £ s_j £ s_{j max}, т.е. n_i и s_j не должны быть меньше или больше предельной частоты вращения и подач, установленных паспортными данными конкретного станка.

На точность обработки оказывают влияние ряд факторов - упругие отжатия технологической системы, размерный износ режущего инструмента, погрешность установки заготовки на станке, погрешность настройки станка на размер, тепловые деформации технологической системы и геометрические погрешности станка. В общем виде суммарную погрешность, или поле рассеяния выполняемого размера, выражают функциональной зависимостью

D_å = f (D_yie_yiD_нiD_иiD_тiåD_фi).

Каждая из стоящих в скобках величин не зависит одна от другой и для данного конкретного случая может быть определена условиями реализации технологической операции. Величина D_у представляет собой погрешность (поле рассеяния) выполняемого размера в данном сечении, которая возникает в результате упругих отжатий звеньев технологической системы под влиянием нестабильности сил резания. Разность предельных значений упругих отжатий технологической системы определяет величину D_у. Если разность предельных значений для данных условий, считают вполне постоянной, то текущее ее значение при обработке каждой индивидуальной заготовки представляет собой случайную величину. Принято считать, что распределение величин у подчиняется закону нормального распределения.

Аналогичный характер имеет погрешность установки заготовки e_y, представляющая собой сумму погрешностей базирования e_б, закрепления e_з, и приспособления e_пр. Для конкретных условий обработки e_y представляет собой вполне определенную величину - расстояние между проекциями предельных положений измерительной базы на направление выполняемого размера. В то же время для каждой индивидуальной заготовки положение измерительной базы будет случайным. Распределение положений измерительной базы в большинстве случаев подчиняется нормальному закону.

Погрешность настройки станка D_н является разностью предельных положений режущего инструмента на станке при установке его на выполняемый размер. Значение D_н для данного метода обработки регламентируется вполне определенной величиной. Для каждой партии заготовок текущее значение настроечного размера н является случайной величиной, распределение которой также подчиняется нормальному закону или закону, по характеру близкому к нему.

Размерный износ инструмента систематически изменяет положение его режущей кромки относительно исходной установленной базы заготовки в процессе обработки. В результате этого выполняемый размер непрерывно изменяется между двумя сменами или поднастройками инструмента. Величину D_и регламентируют для каждого метода обработки в зависимости от допустимого износа инструмента. Принято считать, что размерный износ и протекает по закону прямой, а соответствующая кривая разделения имеет вид прямоугольника (кривая равной вероятности).

Седьмой член функции D_å - å_Dф равен сумме погрешностей формы, вызываемых геометрическими неточностями станка, деформациями заготовки под влиянием сил закрепления и неравномерными по различным сечениям заготовки упругими отжатиями технологической системы (под действием сил резания).

Элементарные погрешности D_i =(D_у,D_и,D_т,åD_ф) функционально связаны с режимами обработки, т. е. D_i =j(t,s,v). Причем степень влияния режимов обработки на каждую D_i будет не одинакова.

Пространственные отклонения поверхностей также увязываются аналитически с режимами резания. Например, при обработке отверстий сверлением на станках с ЧПУ большое влияние на увод и смещение оси отверстия оказывает осевая подача инструмента s и скорость резания v.

Для многих методов обработки резанием имеются свои зависимости. Для расчета точности обработки применяют также статистический анализ. К существенным недостаткам статистического метода относится то, что он не вскрывает сущность физических явлений и факторов, влияющих на точность обработки, что на его базе не всегда выявляются конкретные возможности повышения точности. Полученные ранее значения среднего квадратичного отклонения не могут быть использованы, если в условиях выполнения данной операции произошли изменения (режима резания и др.). В этом случае необходимо определить новое значение s. Однако в отдельных случаях статистический анализ позволяет выявить количественную и качественную зависимость точности от отдельных технологических факторов.

Количественные зависимости, полученные по усредненным данным при использовании расчетно-аналитического метода носят детерминированный характер. Усредненные данные могут включать элементы неопределенности, которые влияют на результаты решения при математическом моделировании, поэтому определение погрешности обработки с помощью количественных зависимостей, используемых в математических моделях, должно представлять сочетание расчетно-аналитического и статистического методов.

Для математической модели необходимо знать ограничения, которые учитывают только доминирующие факторы, влияющие на построение процесса.

На разных этапах технологического процесса доминирующие погрешности изменяются.

Регулируемыми параметрами режима обработки являются значения t, s и v, которые изменяются в определенных пределах.

Важным моментом при оптимизации процессов обработки резанием является выбор целевой функции.

Принципиально возможны следующие критерии выбора режимов резания при построении оптимальной операции: наименьшая технологическая себестоимость, максимальная производительность, максимальная стойкость инструмента, а также такие критерии оптимальности, как показатель наименьших приведенных затрат. Последний показатель является обобщенным и учитывает технологическую себестоимость операции, капитальные вложения по оборудованию и оснастке и нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений. Его целесообразно применять для выбора наилучшего варианта операции при возможной обработке деталей на разных моделях станков.

Максимальная стойкость инструмента в качестве целевой функции может применяться при обработке больших поверхностей крупных и тяжелых деталей, заготовок из трудно обрабатываемых сплавов, когда время выполнения одного перехода или нескольких переходов на выбранных режимах должно быть меньше периода стойкости инструмента, соответствующего этим режимам. В ряде особых производственно-технических условий возникает также необходимость экономить расход остродефицитного режущего инструмента, а также обеспечивать максимально допустимую точность обработки.

В условиях серийного производства особого внимания заслуживают две целевые функции: минимум технологической себестоимости и максимум производительности при выполнении операции. Эти целевые функции относятся к отдельной операции. Их решение определяет предельные возможности спроектированной операции (по себестоимости и производительности), если отсутствуют ограничения организационного характера. Для условий поточно-массового производства, когда возникает необходимость синхронизации времени обработки с тактом поточной или автоматической линии, в качестве целевой функции используют минимум технологической себестоимости при заданной производительности. Здесь заданная производительность выступает в роли ограничения.

Целевая функция- наименьшая технологическая себестоимость операции охватывает широкий круг затрат общественного труда. Здесь кроме затрат живого труда учитываются и затраты труда, вложенного в средства производства (амортизация и ремонт оборудования, электроэнергия на рабочие и холостые ходы при обработке, вспомогательные материалы и др.). Эта целевая функция не учитывает удельной фондоемкости продукции, так как себестоимость не учитывает амортизацию применяемых основных фондов, приходящихся на i-операцию. Однако при выборе варианта оптимальной i-й станочной операции, выполняемой на определенном станке в определенных организационно-технических условиях, величину удельной фондоемкости можно считать постоянной и не учитывать ее в целевой функции.

Технологическую себестоимость выполнения i-й операции в серийном производстве определяют по следующей формуле:

С_оп._i = t_o._i (С_з + С_а + С_р + С_эл. _{р +} С_п ) +(t_в.i + t_т.i)(С_з + С_а + С_р + С_и + С_эл. _р + С_эл.х)+(С_а + С_н + С_эл.х + С_п),

где С_з, С_н- минутная ставка станочника и наладчика; С_а, С_р, С_эл.х, С_эл.р., С_и, С_п - расходы на амортизацию текущий ремонт оборудования, электроэнергию холостого и рабочего ходов, режущий и вспомогательный инструмент, приспособления, в руб. (коп.), отнесенные к 1 мин. штучно- калькуляционного времени t_шт.к; t_o.i, t_в.i, t_m.i- суммарные значения основного вспомогательного времени и времени технического обслуживания при выполнении операции соответственно, в мин; Т_п.з. - подготовительно-заключительное время, в мин; N- размер партии обрабатываемых деталей.

Формула не учитывает постоянные для сравниваемых вариантов операций величины, например заводские накладные расходы и некоторые элементы цеховых накладных расходов. В конкретных условиях построения операции некоторые составляющие части формулы могут быть постоянными и не включаться в уравнение.

Для исследования критерия оптимальности построения технологических процессов, характеризующих условия построения операции, можно использовать теорию, производительности машин. В этой теории объектом исследования является рабочая машина, станок, исполнительный механизм. Поэтому, анализируя их производительность, рассматривается время работы агрегата с точки зрения отработки им заданных действий, которое подразделяется на время рабочих ходов (t_р), холостых ходов (t_х) и время простоев (t_пр). Непроизводительное время потерь подразделяется на цикловые и внецикловые потери.

В станках с ЧПУ, в связи с наличием автоматической смены инструмента, простои, связанные со сменой, установкой, регулировкой (коррекцией) и закреплением режущего инструмента и т. п., перестают быть внецикловыми потерями (какими они являются в обычных станках) и становятся частью потерь на холостых ходах рабочего цикла станка, т. е. цикловыми потерями.

При варьировании скорости резания изменяется время рабочих ходов и стойкость инструмента, входящая во внецикловые потери. Интенсификация режимов является важнейшим фактором повышения производительности. Определение влияния интенсификации режимов обработки на длительность рабочих и холостых ходов не вызывает трудностей: как правило, длительность обработки сокращается во столько раз, во сколько раз повышается интенсивность режима. Влияние интенсификации режимов обработки на внецикловые потери по инструменту и оборудованию можно определить экспериментально, поэтому достоверность рекомендуемых режимов зависит в первую очередь от имеющегося объема исследований производительности в конкретных производственных условиях. Такие исследования позволяют не только определить эксплуатационные характеристики станков, но и найти резервы повышения производительности. Анализ производительности включает в себя фактические наблюдения и измерения, математическую обработку полученных результатов и эксплуатационных характеристик, составление баланса производительности.

Фактическая штучная производительность (в шт./мин)

,

где k - технологическая производительность (k=1/tp); åС_i -потери времени, связанные с эксплуатацией инструмента; t_e - внецикловые потери, не зависящие от режимов резания; t_p - время резания.

5.4.1 Моделирование черновой обработки поверхности

Наибольшая производительность достигается при полном использовании возможностей станка и инструмента. Поэтому на параметры обработки должны быть наложены ограничения, исключающие превышение мощности, потребной на резание, силы подачи, упругих отжатий элементов технологической системы, напряжения изгиба пластины инструментального материала, подачи, скорости и глубины резания. В рассматриваемом случае доминирующим фактором является производительность станка, а также отсутствуют ограничения на точность обработки и шероховатость поверхности. Это позволяет рассматривать ограничения на упругие отжатия элементов технологической системы в той мере, в которой это необходимо для достижения нормального процесса обработки.

Перечисленные ограничения выражаются через технологические параметры переходов и соответствующие величины, характеризующие условия обработки. Используются аналитические выражения для оценки сил и скорости резания, а также прочностные и жесткостные зависимости, известные из сопротивления материалов. Приняты зависимости тангенциальной, нормальной и осевой составляющих сил резания:

P_z = c_z k_z t ^Xzs^Yz v^nz;

P_y = c_y k_y t ^Xys^Yy v^ny;

P_x = c_x k_x t ^Xxs^Yx v^nx.

Для согласования значений подачи и скорости резания с паспортными данными оборудования, на котором они устанавливаются дискретно, используются коэффициенты геометрических рядов подач (j_s) и оборотов шпинделя (j_n):

n = n₁j_n^{Zn - 1} ; s = s₁j_n^{Zs – 1}.

После необходимых преобразований получим следующую систему ограничений:

t^Xzj_s^ZsYzj_n^{Zn(nz + 1)} £ C₁;

t^Xxj_s^ZsYxj_n^Znnx £ C₂;

t^{Xz –0,77}j_s^ZsYzj_n^Znnz £ C₃;

t^Xv/mj_s^ZsYv/mj_n^Zn/m ³ C₄;

t^Xzj_s^ZsYzj_n^Znnz £ C₅;

t^Xyj_s^ZsYyj_n^Znny £ C₆;

t_max £ C₇;

j_s^Zs £ C₈;

j_n^Zn £ C₉;

t_min³ C₁₀;

j_s^Zs ³ C₁₁;

j_n^Zn ³ C₁₂.

Коэффициенты С₁ - С₁₂ зависят от конкретных условий обработки и определяются по следующим формулам:

C₁ = ;

C₂ = ;

C₃ = ;

C₄ = ;

C₅ = ;

C₆ = ;

C₇ = t_max;

C₈ = s_max a;

C₉ = v_maxb/p;

C₁₀ = t_min;

C₁₁ = s_min a;

C₁₂ = v_minB/p.

В приведенных зависимостях были приняты следующие обозначения: s, v, t - подача, скорость и глубина резания на рассматриваемом переходе соответственно; x_z, x_x, x_y, x_v, y_z, y_x, y_y, n_z, n_x, n_y - показатели степени при глубине резания, подаче и скорости резания в формулах сил и скорости резания, постоянные для определения условий обработки; m - показатель степени при принятом значении стойкости инструмента Т_эк в формуле скорости резания; c_z, c_x, c_y, c_v, k_x, k_y, k_z, k_v - коэффициенты, характеризующие условия обработки; n₁, s₁ - наименьшие числа в рядах чисел оборотов и подач; j_n, j_s - знаменатели геометрических рядов чисел оборотов и подач; N_эл., h - мощность электродвигателя и к.п.д. главного привода станка; P_доп.ст - допустимая сила подачи станка; B, H - размеры державки инструмента; s_и, l_р - допустимое напряжение изгиба и вылета державки инструмента; C, j - толщина пластины инструментального материала и главный угол в плане; L, l₁ - длина обрабатываемой заготовки и расстояние от переднего центра или места закрепления до рассматриваемого сечения; f_доп - допускаемая деформация заготовки под действием сил резания; a = j_s/s₁;

b = 1000j_n/(n₁D);(D - диаметр заготовки); s_min, s_max, t_min, t_max, v_min, v_max - наименьшие и наибольшие значения подачи, глубины резания соответственно, допускаемые в данных условиях обработки; k - коэффициент, учитывающий способ закрепления заготовки на станке. При обработке в центрах токарного станка k = l₁²/L.

Система ограничений выражениями позволяет установить возможные сочетания подачи, скорости и глубины резания на один переход. Оптимальное сочетание выбирают по наименьшей суммарной величине тех элементов затрат, которые зависят от варианта выполнения одного перехода. Оценить любое сочетание подачи, глубины и скорости резания можно по затратам С_ед на удаление единичного объема материала, размеры которого определяются самими параметрами обработки:

где q₁ = C_a + C₃; q₃= Ca + C₃ + C_элр + C_элх + С_р + С_и;

V_ед - единичный объем материала заготовки диаметром D;

Ca, C₃, C_элр, C_элх , С_р , С_и - затраты на амортизацию оборудования, заработную плату станочника, электроэнергию рабочего и холостого ходов, текущий ремонт оборудования, на режущий инструмент соответственно, отнесенные к 1 мин работы станка;

t_cи - время на смену затупившегося инструмента.

При выполнении нескольких последовательных переходов значительные затраты связаны со вспомогательным временем t_в (20 - 35%).

Например, для одноинструментной токарной черновой обработки лучшему варианту маршрута соответствуют минимальные затраты, определенные по формуле

где p - число переходов по рассматриваемому варианту маршрута;

L - длина обрабатываемой поверхности;

t_упр.i t_{изм.i -} время на приемы управления станком и промеры поверхности на i - м переходе соответственно;

q₂ = C_a + C₃ + C_элх + С_р.