Приложение 6. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Шахминой Е.В. на тему «Построение математической модели течения материала в резиносмесителе «Бенбери»»
Резиносмеситель «Бенбери»является машиной периодического действия. В процессе перемешивания на ротор действует значительное усилие, которое обусловлено распорными усилиями в клинообразном зазоре между гребнем ротора и стенкой смесительной камеры. Именно течение материала в клинообразном зазоре обеспечивает смесительный эффект машины. Материал в зазоре подвергается двум типам деформации: простому сдвигу и растяжению. В остальном пространстве смесительной камеры деформации материала незначительны, требуют значительно меньших затрат энергии и дают малый смесительный эффект. Течение материала во многом зависит от формы кромки ротора.
В настоящей работе методом математического моделирования анализируются гидродинамические закономерности течения материала в зазоре при его аппроксимации дугой окружности. Течение вдоль лопасти игнорируем. Течение стационарное, изотермическое.
Предполагается найти поле скоростей в зазоре, распределение давления, проанализировать влияние размера зоны течения на расход.
Описание выбранной модели процесса. Рассмотрим течение между стенкой камеры и кромкой лопасти резиносмесителя. При построении гидродинамической модели течения используем Рейнольдсово приближение для теории смазки. При построении гидродинамической модели используем следующие допущения. Скорости деформации столь малы, что аномально-вязкие свойства не проявляются. Перемешенный материал можно рассматривать как ньютоновскую жидкость. Вязкость материала постоянна. Силы инерции незначительны, и ими можно пренебречь. Перерабатываемый материал смачивает рабочие поверхности, т. е. на стенках выполняются условия прилипания. Материал несжимаемый, плотность его постоянна.
Радиус кривизны стенки камеры велик, по сравнению с зазором между кромкой лопасти и камерой смесителя, поэтому стенку можно считать прямолинейной.
Для сохранения неподвижности системы координат, относительно лопасти, считаем лопасть неподвижной, а стенку камеры, движущейся со скоростью V. Скорость движения стенки определяется, как: , где - расстояние от стенки до кромки ротора; - угловая частота вращения ротора.
Текущая высота клинообразного зазора между кромкой лопасти и стенкой описывается функцией h(x). Ось x совпадает с направлением движения стенки. Лопасть несимметрична относительно оси y. Левая часть края лопасти аппроксимируется окружностью радиуса R. В сечении x = 0 течение заканчивается. Поскольку функция давления находится с точностью до произвольной постоянной, то без снижения общности считаем общее гидростатическое давление в камере равным нулю, т. е. на выходе зоны течения давление материала равно нулю. В сечении x=x1 течение начинается. Таким образом, протяжённость зоны течения от x = x1 до x = 0. Поскольку характерная высота зазора значительно меньше протяжённости зоны течения (h <<|x1|), то изменением давления по высоте канала пренебрегаем: . Кроме того, . Таким образом, распределение давления описывается функцией P(x). Давление на входе зоны течения нулевое: (P = 0). Течение стационарное: .
С учётом принятых допущений, течение материала в клинообразном зазоре описывается следующей системой уравнений:
, (1)
, (2)
где m - вязкость; Vx – осевая компонента скорости; Q – объёмный расход, отнесённый к единице ширины ротора. Уравнение (1) – уравнение движения; уравнение (2) – интегральное условие неразрывности.
Граничные условия задачи:
y = 0, Vx = V , (3)
y = h, Vx = 0, (4)
характеризуют прилипание жидкости к рабочим поверхностям.
Граничные условия для давления на входе и выходе:
x = x1, P = 0 , (5)
x = 0, P = 0 . (6)
Проинтегрируем уравнение движения, для чего обе части его умножим на dy. В результате имеем:
, (7)
где c1 – постоянная интегрирования.
Выполнив повторное интегрирование, получим выражение для осевой скорости:
. (8)
Постоянные интегрирования с1, с2 находим, используя условия прилипания (3) и (4). Из условия (3) получаем .
Граничное условие (4) даёт следующие выражение для с1:
, (9)
откуда находим с1:
. (10)
Подставим найденные выражения для с1 и с2 в выражение для скорости, получим:
. (11)
Рассматривая совместно выражение (11) и уравнение (2), найдём объёмный расход
(12)
Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции Р. Разрешив его относительно производной, можем записать
. (13)
Для его решения необходимо знать функцию h(x). Левая часть края лопасти представляет дугу окружности радиуса R и описывается уравнением:
, R>>x,y (14)
В этом уравнении y характеризует ординату кромки лопасти, поэтому обозначим её h(x). Уравнение окружности иррационально и непосредственно для интегрирования непригодно. Учитывая, что R много больше х и h, аппроксимируем окружность дугой параболы (приём Гаскелла). При этом получим уравнение поверхности лопасти:
. (15)
Введём безразмерную переменную Гаскелла , где h0 – минимальный зазор между кромкой лопасти и стенкой. Откуда имеем
. (16)
Высота зазора описывается функцией
. (17)
С учётом полученных геометрических выражений (16), (17), уравнение (13) примет вид
. (18)
В этом уравнении разделим переменные и проинтегрируем от текущего сечения до выходного
*
. (19)
После несложных преобразований, получаем выражение для давления
(20)
Нам неизвестны объёмный расход жидкости Q и координата начала зоны течения x1. Для определения связи между ними используем граничное условие для давления на входе (5), которое запишем следующим образом: , , где .
Уравнение (20) с учётом указанного условия даёт уравнение связи между Q и r1
, (21)
где -безразмерный расход.
Путём численного анализа можно построить зависимость от r1. Используя эту зависимость, можно рассчитать эпюру давления.
Рис. 1. Зависимость безразмерного расхода `Q от размера зоны течения r1.
Рис. 2. Зависимость распределения давления `P от размера зоны течения r.
Исследуем влияние минимального зазора на распределение давления при постоянной длине зоны течения. Введем безразмерное давление
.
Путём численного анализа выясним зависимость `P от r
. (23)
Найдём координату точки максимума давления. Из (18) и условия следует равенство.
Согласно рис. 1, в области малых размеров зоны течения расход существенно зависит от протяженности. Однако при -r1>3 расход изменяется незначительно. Согласно рис. 2, с увеличением размера зоны течения величина давления возрастает, но точка максимума не смещается.
ЛИТЕРАТУРА
1.Шеин В. С., Шутилин Ю. Ф., Гриб А. П. Основные процессы резинового производства. Учебное пособие для вузов.– Л.: Химия, 1988. – 160 с.
2.Машины и аппараты резинового производства. Под ред. Д. М. Барскова. М.: Химия, 1975. 600 с.
3.Бекин Н. Г., Шанин Н. П. Оборудование заводов резиновой промышленности. – Л.: Химия, 1978. – 400 с.
4.Скачков А. С., Левин С. Ю. Оборудование заводов резиновой промышленности. – М.: Высшая школа, 1968. – 348 с.
5.Галахов М. А., Гусятников П. Б., Новиков А. П. Математические модели контактной гидродинамики. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 296 с.
6.Белозеров Н. В. Технология резины. – М.: Химия, 1979. – 472 с.
7.Реологические основы переработки эластомеров/Е. Г. Вострокнутов, Г. В. Виноградов. – М.: Химия, 1988. – 232 с.
8.Бернхардт Э. Переработка термопластичных материалов. – М.: Госхимиздат, 1962. – 747 с.
9.Торнер Р. В. Теоретические основы переработки полимеров. – М.: Химия, 1977. – 352 с.
10.Басов Н. И., Казанков Ю. В., Любартович В. А. Расчёт и конструирование оборудования для производства и переработки полимерных материалов. – М.: Химия, 1986. – 488 с.
Приложение 7. Фрагмент выпускной бакалаврской работы Супруна А.И. на тему «Математическая модель червячного водоотделителя»
Гидродинамическая теория червячных машин достаточно хорошо разработана учеными Д. М. Мак-Келви, Э. Бернхардтом, Р.В. Торнером и др.[1-8]. В то же время имеются сравнительно немногочисленные экспериментальные исследования процесса обезвоживания материалов в червячных машинах.
В данной работе предпринята попытка при ряде упрощающих допущений построить математическую модель процесса обезвоживания в червячной машине и исследовать его основные закономерности. В частности, представляет интерес определить распределение давления в материальном цилиндре и влияние различных технологических параметров на интенсивность отжима влаги, а именно на остаточную концентрацию влаги в каучуке на выходе из машины.
Математическое описание работы винтового насоса может быть получено совместным решением уравнений, которые выражают законы сохранения массы и количества движения при ламинарном течении, с уравнениями, описывающими физическое состояние перекачиваемой жидкости.
Получить строгое решение этих уравнений чрезвычайно трудно. В настоящее время приходится довольствоваться решениями, область применения которых ограничена некоторыми упрощающими предположениями.
Для анализа работы червячной машины используем модельные представления из работы [8].
Пренебрегаем кривизной канала. Окружную скорость корпуса Uc можно разложить на две взаимно перпендикулярные компоненты Uz и Ux, соответственно направленные вдоль и поперёк канала червяка. Объёмная производительность машины определяется компонентой Uz, которая определяется так:
.
где D – диаметр шнека; w – угловая частота вращения шнека ();
j – угол подъема винтовой линии шнека.
Пусть шнек имеет малое отношение глубины канала к ширине . Пренебрегаем трением жидкости о боковые стенки канала. При этом скорость в канале изменяется только в направлении (y) и переходим к «одномерному» упрощенному уравнению шприцевания.
Стенки материального цилиндра для осуществления процесса обезвоживания каучука перфорированы, т.е. имеют равномерно расположенные отверстия. Расход жидкости через перфорированную стенку цилиндра пропорционален давлению в материале в витке шнека. На входе в машину давление в материале атмосферное и отжим через боковую стенку отсутствует. Таким образом, примем, что скорость высачивания жидкости через боковую стенку пропорциональна избыточному давлению в материале
, (4.1)
где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от вязкости жидкости, размеров отверстия перфорации и др. (определяется экспериментально). Если принять нулевую проницаемость стенки (k=0), то вертикальная составляющая скорости жидкости будет равна нулю (Vy=0), а сама стенка материального цилиндра будет непроницаемой.
Необходимо отметить, что система двухфазная и отжимается только жидкая фаза (вода) каучук – же имеет идентичный расход на входе и выходе
машины. Схема развертки витка шнека машины, иллюстрирующая модельные представления о процессе, показана на рис. 4.1.
На рисунке координате у = 0 отвечает поверхность шнека, которая условно считается неподвижной (используется обратимость движения шнека и материального цилиндра). Координате y = h отвечает перфорированная поверхность цилиндра, которая, кроме того, совершает поступательное движение со скоростью . Хотя отверстия материального цилиндра расположены дискретно, будем считать эту поверхность полупроницаемой для воды и непроницаемой для каучука.
Давление по длине машины в материале равномерно возрастает, достигая к выходу значения Pk. Нарастание давления обусловлено гидравлическим сопротивлением головки (которая на схеме не показана). Длина рабочей части машины и зоны течения – l. В зоне течения имеет место двухмерное течение, характеризующееся компонентами скорости Vx и Vy Учитывая условие l >> h, считаем давление однородным в поперечном сечении: . Среда представляет собой двухфазную систему, состоящую из воды и каучука. В первом приближении будем считать её вязкой жидкостью, вязкость которой не изменяется с изменением концентрации воды. Расход каучука остаётся постоянным по длине машины. Условия изотермические. Скольжение материала на поверхностях цилиндра и витка шнека отсутствует. Циркуляционное течение в поперечном сечении витка не рассматриваем. С учётом принятых допущений математическая модель процесса содержит уравнение движения, уравнение неразрывности и граничные условия для давления и скорости
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
где m – вязкость материала; x, y – декартовые координаты.
Проинтегрируем уравнение движения (4.2), учитывая, что давление не зависит от (у)
.
Выполнив повторное интегрирование, получим выражение для осевой скорости среды
(4.8)
Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из граничных условий для скорости Vx в (4.6), (4.7).
Используем условие (4.6)
0 = С2. (4.9)
Условие (4.7) даёт
. (4.10)
Подставив (4.9), (4.10) в (4.8), получим
. (4.11)
Согласно гидродинамике двухфазных систем [9], скорость среды складывается из скоростей фаз, например, для компоненты Vx
,
где – продольная компонента скорости воды,– продольная компонента скорости каучука.
Уравнение неразрывности (4.3) запишем для каждой из фаз:
— для воды (4.12)
— для каучука . (4.13)
Если сложить эти уравнения, то получим уравнение (4.3).
Проинтегрируем уравнение (4.12) по (у) в пределах от 0 до h
.
Имеем
.
С учётом граничного условия высачивания воды в (4.7) и условия непроницаемости (4.6) можем записать
. (4.14)
Аналогично, проинтегрировав уравнение (4.13) с учётом условий (4.6), (4.7), получим
.
Сложив это выражение с (4.14) и учитывая , получим интегральное уравнение материального баланса
(4.15)
Уравнение (4.15) используем для определения распределения давления по длине шнека. Подставим выражение для скорости (4.11) в уравнение (4.15)
Решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка (4.16) имеет вид
где – гиперболический синус; – гиперболический косинус.
Неизвестные постоянные найдём, используя граничные условия (4.4), (4.5). Согласно (4.4), , но sh 0 = 0, ch 0 = 1, поэтому необходимо положить С2=0. Согласно (4.5), , поэтому .
С учётом найденных значений С1 и С2 выражение для давления примет вид
(4.17)
В частном случае непроницаемой стенки и
.
Здесь использовалось свойство . Согласно полученному выражению для непроницаемой стенки, распределение давления описывается линейной функцией.
Проанализируем изменение содержания воды в каучуке по длине машины. На рис. 4.2. представлена схема материальных потоков в машине.
Объёмный расход на входе Q0, содержание воды характеризуется концентрацией С0; расход высачивающейся через отверстия материального цилиндра воды Qв; расход смеси на выходе из машины Qк, остаточное содержание воды Ск.
Примем объёмную концентрацию, отнесённую к объёму каучука, расход которого по длине машины постоянен, т.е. , где Vв, Vк – объёмный расход воды и каучука, соответственно.
Общий материальный баланс машины
. (4.18)
Материальный баланс по воде
. (4.19)
Процесс обезвоживания подобен процессу сушки, для которого уравнения (4.18), (4.19) подобны.
Найдём входящие в (4.18) расходы. Общий расход, отнесённый к единице ширины витка шнека, определяется интегралом
,
где . Здесь учитывались соотношения .
С учётом выражения для давления можем записать
. (4.20)
Расход материала на выходе из шнека
. (4.21)
Расход высачивающейся воды
.
С учётом соотношения (4.1) и (4.17) последовательно имеем
.
Выполнив интегрирование, получим
. (4.22)
Легко убедиться, подставив (4.20), (4.21), (4.22) в (4.18), что это уравнение выполняется автоматически.
Уравнение (4.19) можно использовать для определения содержания остаточной воды на выходе из машины. При этом считаем, что концентрация воды на входе С0 известна.
Разрешим уравнение (4.19) относительно Ск
.
Подставим в это соотношение выражения (4.20) – (4.22). После несложных преобразований, имеем
(4.23)
где – безразмерное давление в конце зоны течения.
При непроницаемой стенке цилиндра l=0 или нулевом давлении А=0 и Ск = Со обезвоживание отсутствует. Полное обезвоживание соответствует
Ск = 0.
Используя (4.23), можно найти давление на выходе из машины в зависимости от степени обезвоживания. Из (4.23) имеем
(4.24)
или в размерной форме
Чтобы найти давление на выходе Рк, обеспечивающее полное обезвоживание, необходимо в последнем выражении положить Ск=0.
Найдём мощность, потребляемую машиной. Потребляемая мощность для канала единичной ширины определяется
,
или
.
Согласно (4.11) градиент скорости на стенке
.
Подставив это выражение в интеграл и выполнив интегрирование, получим
. (4.25)
Здесь первое слагаемое характеризует затраты энергии на преодоление сил вязкого трения, а второе – на создание давления в головке.
Для выяснения влияния степени обезвоживания на затрачиваемую мощность необходимо в (4.25) подставить Рк из (4.24). Имеем
(4.26)
Численные результаты. Исследуем влияние проницаемости стенок цилиндра на характер распределения давления по длине. При этом следует иметь в виду, что согласно (4.1) распределение давления характеризует распределение скорости высачивания V1x по длине шнека. Используем выражение (4.17).
Зададим ряд значений с шагом 0,1. Результаты расчёта представлены на графике рис. 4.3. Учитывалась зависимость при l=0.
Видно, что для непроницаемого цилиндра l=0 зависимость линейна. С увеличением проницаемости давление понижается, достигая наибольшего значения на выходе, где скорость высачивания воды наибольшая.
Исследуем влияние проницаемости стенок на величину давления в фильере. Используем формулу (4.24). Зададим ряд значений и концентрацией . При этом путём расчёта получим график рис. 4.4. Из рисунка видно, что с увеличением проницаемости давление на выходе снижается. С увеличением количества извлекаемой влаги давление возрастает.
1. Крючков А. П. Общая технология СК. – М.: Химия, 1965. 526 с.
2. Рейсхфельд В. О., Еркова Л. Н. Оборудование производств основного органического синтеза и синтетических каучуков. – Л.: Химия, 1974. 437 с.
3. Герман Х. Шнековые машины в технологии. – М.: Химия, 1975. 684 с.
4. Бекин Н. Г. Оборудование и основы проектирования заводов резиновой промышленности. – М.: Химия, 1985. 542 с.
5. Шейн В. С. Процесс выделения и обезвоживания синтетических каучуков.– М.: Химия, 1970, 738 с.
6. Рябинин О. П. Расчёт и конструирование оборудования химической промышленности. – Л.: Химия, 1954. 680 с.
7. Вострокнутов Е. Г. Переработка каучуков и резиновых смесей. – М.: Химия, 1975. 529 с.
8. Берхард Э. Переработка термопластичных материалов. – М.: Химия, 1962. 747 с.
9. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. – М.: Химия, 1974. 689 с.
Рассмотрена задача статического равновесия тяжелого шарика в изогнутой трубке постоянного диаметра при протекании в ней с постоянным расходом жидкости или газа. Схема течения и система координат представлены на рис.1. Шарик 1 диаметром d помещен в трубку 2 внутренним диаметром D. Для контроля положения шарика в прозрачной трубке служит шкала 3. Слева в трубку подается жидкость (газ) с постоянным расходом Q. Ось декартовой системы координат x направлена горизонтально, ось y - вертикально. Ось трубки s лежит в вертикальной плоскости. Угол φ характеризует наклон касательной к траектории трубки в точке ее касания шариком. На шарик действуют силы: G - собственного веса, А - архимедова сила, R - реакция от стенки трубки (направлена по нормали к оси трубки), F - сила динамического воздействия протекающего потока жидкости.
В положении равновесия сумма всех сил, действующих на шарик (равнодействующая которых проходит через его центр тяжести), равна нулю.
Проекции сил на оси x и y имеют вид:
-R cos(π/2-φ)+F cos φ = 0, A - G + F sin φ + R sin (π /2 - φ) = 0.
Исключив из этих уравнений R, получим соотношение
F = (G - A) sin φ. (1)
Найдем силы, входящие в (1). Для собственного веса и архимедовой силы можно записать
G - A = g (ρт - ρ)πd3/6, (2)
где ρт, ρ - плотности материала шарика и среды, g – ускорение свободного падения.
Рассматривая шарик как местное сопротивление, можно определить силу динамического воздействия среды так:
F = 0,25πd2ΔP, (3)
где ΔP - падение давления на шарике. Падение давления в местном сопротивлении найдем по известной формуле [1]
ΔP = 0,5ξ ρ v2 , (4)
где ξ =25,2/Re+(1/e+n)2 - коэффициент местного сопротивления как для ламинарного, так и для турбулентного режимов; n = 1-(d/D)2; e=0,57+ 0,043/(1,1-n); Re=ve(D-d)ρ/μ – число Рейнольдса для серповидного зазора между шариком и стенкой трубки; ve =4Q/[π(D2-d2)] - средняя скорость в узком сечении.
Из совместного рассмотрения (1)-(4) следует уравнение, связывающее расход среды и локальный угол наклона трубки
bQ2 + aQ - sin φ = 0, (5)
где a =75,6μ(D+d)/[πgd(ρт-ρ)(D2-d2)2], b =12 ρ(1+ne) 2/[π2gde2(ρт-ρ)(D2-d2)2].
Отметим, что уравнение (5) описывает равновесие шарика при любом режиме течения жидкости. Разрешая уравнение (5) относительно расхода, получим
Q = 2 sin φ /[a + ]. (6)
Из формулы (6) видно, что соотношение коэффициентов a и b определяет режим течения.
Пусть угол наклона трубки монотонно возрастает по ее длине. Предельным углом для конца трубки является φ = π/2. При этом реакция от стенки R уменьшается до нуля, шарик свободно "витает" в поперечном сечении и скорость потока равна скорости уноса шарика. Этот режим характеризует максимально возможный расход среды Qm. Изогнутая трубка, выполненная из прозрачного материала, у которой угол наклона касательной к оси плавно возрастает от φ = 0 до φ = π/2, позволяет по положению шарика, контролируемому посредством шкалы, измерять расход протекающей среды.
Для определения максимально допустимого расхода Qm достаточно в (6) положить φ = π/2. Имеем
Qm = 2/[a + ]. (7)
Гидродинамический режим может быть охарактеризован одним безразмерным параметром - числом Архимеда. Модифицированное для данной задачи число Архимеда определяется выражением
Ar = .
Соответственно, для максимального расхода можем записать
Qm =2/[a(1 +)].
Из выражения для Ar видно, что ламинарный режим имеет место при малых D, (ρт - ρ) и больших μ.
Численный анализ (7) показал, что Qm в основном определяется внутренним диаметром трубки D и соотношением физических свойств ρ, μ, (ρт - ρ). Увеличение диаметра шарика в пределах от d/D=0,07 до 0,5 повышает Qm в среднем в 1,5-2 раза. Дальнейшее увеличение d/D приводит к снижению Qm. Следует отметить, что при больших отношениях d/D возрастает гидравлическое сопротивление устройства. Режим течения по преимуществу турбулентный.
Рассмотрим случай ламинарного режима течения, для которого правомерны соотношения a2>>b, b≈0. Полагая в (5) b=0, имеем
= sin φ. (8)
Согласно (8) угол динамического равновесия (соответственно и положение шарика в изогнутой трубке) зависит не только от расхода Q, но и от вязкости. Следовательно, организовав в трубке течение с постоянным расходом Q=const, можно непрерывно контролировать вязкость протекающей среды по положению шарика. При значительной длине трубки и незначительном изменении угла наклона, что ограничено трением качения шарика по стенке трубки, можно получить достаточно высокую точность измерения вязкости или контролировать малое ее отклонение.
Зависимость Qm от d/D носит экстремальный характер. Найдем координату точки максимума. Запишем выражение (7) в форме
Qm=,
где H=d/D. Продифференцировав это выражение по H и приравняв нулю, получим кубическое уравнение 4H3+5H2-1=0. Действительный положительный корень этого уравнения H=d/D=(-1)/8=0,3903882. Шарик с таким диаметром, при прочих равных условиях, наименее отклоняется под действием потока жидкости. Этому значению H соответствует максимальный расход жидкости
Qm =.
Численный анализ показывает, что и в турбулентном режиме Qm также имеет экстремум (в окрестности d/D≈0,5), но найти его возможно только численно.
Наибольшую точность измерения можно получить в случае линейной или равномерной шкалы отсчета положения шарика. Поэтому найдем конфигурацию трубки, обеспечивающую равномерную шкалу. Равномерность шкалы обеспечивается при линейной зависимости длины участка трубки от начального сечения до сечения, где находится шарик от расхода Q (Q<Qm). Математически это условие формулируется следующим образом s=KQ, или учитывая (6), можем записать
s = 2K sin φ /[a + ], (9)
где К - коэффициент пропорциональности.
Для плоской кривой характерны следующие геометрические соотношения:
ds/dx = 1 + y'2, y' = dy/dx = tg φ. (10)
Пусть общая длина трубки so (so>>D). Тогда, с учетом условия для верхнего конца трубки s=so, при φ =π/2, найдем, используя (9), коэффициент К. Имеем К= so(a+)/2. Подставив К в (9), получим уравнение
s = so(a+) sin φ /[a + ]. (11)
Уравнения (10), (11) в параметрической форме x(s),y(s) описывают траекторию трубки с равномерной шкалой отсчета. Граничные условия задачи
Параметры xo, yo, so, характеризуют размерные координаты верхнего конца трубки и ее общую длину. Причем параметры xo, yo неизвестны, а длина so задана.
Для дальнейшего анализа задачи ее удобно записать в безразмерной форме
где X=x/so, Y=y/so, S=s/so, B2=1+4Ar sinφ. При решении задачи (13) методом Рунге-Кутта удобно выбирать шаг по S, равный шагу отметок шкалы расхода, например, 0,05 или 0,1.
Из (13) видно, что форма трубки в общем случае зависит от числа Архимеда, т.е. от режима течения. Следовательно, проектировать ротаметр можно только под конкретную среду и размеры шарика и трубки. В противном случае шкала будет неравномерной. В общем случае система (13) не имеет аналитического решения, поэтому рассмотрим частные случаи.
Ламинарный режим течения. При Ar решение задачи (13) имеет вид
X= 0,5φ + 0,25 sin 2φ, Y=0,5 sin2φ, S= sinφ (14)
Безразмерные координаты верхнего конца трубки: φ =π/2, X= π/4, Y=1/2, S=1. Траектория трубки, расcчитанная по (14), с отметками шкалы, показана на рис. 2 (линия 1). Шаг по S был взят 0,1.
Другой предельный случай - турбулентный режим течения. При Ar>>1 уравнения (13) частично интегрируются. Имеем
X= , Y=S/3, S= .
Для функции X решение можно представить, используя эллиптический интеграл первого рода [2]
X=( 2/3)[F(90o,45o) - F(arcos S,45o)] - (S/3),
где F(90o,45o) = 1,85407468. Координату верхнего конца трубки определим, используя равенство F(0,45o)=0. Имеем: X=0,8740191, Y=1/3, S=1, φ =π /2.
Расчетная шкала показана на рис. 2 (линия 2). Из рисунка видно, что в турбулентном режиме начальный участок шкалы (Х<0,3), имеющий слабый наклон, мало пригоден для измерений, т.к. трудно обеспечить высокую точность изготовления трубки и обеспечить минимальное трение качения. Следует отметить, что минимальное трение качения имеет место при высокой твердости соприкасающихся поверхностей, т.е. материалов шарика и стенки трубки (например, пара сталь-стекло).
Рис. 2.
Очевидно, что в промежуточных режимах течения (средних значениях числа Архимеда) конфигурация трубки будет занимать среднее положение между линиями, представленными на рис. 2.
Согласно [3] искривленность трубки увеличивает ее гидравлическое сопротивление. Кроме того, в искривленной трубке максимум скорости смещается к внешней стенке, где именно находится шарик. Поэтому проведенный анализ можно рассматривать как инженерную оценку задачи.
, где 
- расстояние от стенки до кромки ротора; 
- угловая частота вращения ротора.
. Кроме того, 
. Таким образом, распределение давления описывается функцией P(x). Давление на входе зоны течения нулевое: (P = 0). Течение стационарное: 
.
, (1)
, (2)
, (7)
. (8)
.
, (9)
. (10)
. (11)
(12)
. (13)
, R>>x,y (14)
. (15)
, где h0 – минимальный зазор между кромкой лопасти и стенкой. Откуда имеем
. (16)
. (17)
. (18)
. (19)
(20)
, 
, где 
.
, (21)
-безразмерный расход.
от r1. Используя эту зависимость, можно рассчитать эпюру давления.
.
. (23)
следует равенство
.
.
);
. Пренебрегаем трением жидкости о боковые стенки канала. При этом скорость в канале изменяется только в направлении (y) и переходим к «одномерному» упрощенному уравнению шприцевания.
, (4.1)
. Хотя отверстия материального цилиндра расположены дискретно, будем считать эту поверхность полупроницаемой для воды и непроницаемой для каучука.
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
.
(4.8)
. (4.10)
. (4.11)
,
– продольная компонента скорости воды,
– продольная компонента скорости каучука.
(4.12)
. (4.13)
.
.
. (4.14)
.
(4.15)
(4.16)
– безразмерная постоянная, характеризующая проницаемость стенок цилиндра; 
– безразмерная продольная координата 
.
– гиперболический синус; 
– гиперболический косинус.
, но sh 0 = 0, ch 0 = 1, поэтому необходимо положить С2=0. Согласно (4.5), 
, поэтому 
.
(4.17)
и
.
. Согласно полученному выражению для непроницаемой стенки, распределение давления описывается линейной функцией.
Объёмный расход на входе Q0, содержание воды характеризуется концентрацией С0; расход высачивающейся через отверстия материального цилиндра воды Qв; расход смеси на выходе из машины Qк, остаточное содержание воды Ск.
, где Vв, Vк – объёмный расход воды и каучука, соответственно.
. (4.18)
. (4.19)
,
. Здесь учитывались соотношения 
.
. (4.20)
. (4.21)
.
.
. (4.22)
.
(4.23)
– безразмерное давление в конце зоны течения.
(4.24)
,
.
.
. (4.25)
(4.26)
с шагом 0,1. Результаты расчёта представлены на графике рис. 4.3. Учитывалась зависимость 
при l=0.
концентрацией 
. При этом путём расчёта получим график рис. 4.4. Из рисунка видно, что с увеличением проницаемости давление на выходе снижается. С увеличением количества извлекаемой влаги 
давление возрастает.
Рассмотрена задача статического равновесия тяжелого шарика в изогнутой трубке постоянного диаметра при протекании в ней с постоянным расходом жидкости или газа. Схема течения и система координат представлены на рис.1. Шарик 1 диаметром d помещен в трубку 2 внутренним диаметром D. Для контроля положения шарика в прозрачной трубке служит шкала 3. Слева в трубку подается жидкость (газ) с постоянным расходом Q. Ось декартовой системы координат x направлена горизонтально, ось y - вертикально. Ось трубки s лежит в вертикальной плоскости. Угол φ характеризует наклон касательной к траектории трубки в точке ее касания шариком. На шарик действуют силы: G - собственного веса, А - архимедова сила, R - реакция от стенки трубки (направлена по нормали к оси трубки), F - сила динамического воздействия протекающего потока жидкости.
]. (6)
]. (7)
.
)].
= sin φ. (8)
,
-1)/8=0,3903882. Шарик с таким диаметром, при прочих равных условиях, наименее отклоняется под действием потока жидкости. Этому значению H соответствует максимальный расход жидкости
.
], (9)
)/2. Подставив К в (9), получим уравнение
]. (11)
, Y=S/3, S= 
.
,
