Жидкость в баке нагревается от стенки с температурой tc=90 оС. Температура жидкости вдали от стенки to=30 оС. Найти средний коэффициент теплоотдачи при следующих условиях: =1 м; nо=0,81х10-6 м2/с; m=804х10-6 Па.с; b=3,21х10-4 К-1;l=0,618 Вт/(мК); Pr=5,42.
Предварительно вычислим число Грасгофа
Найдем коэффициент теплоотдачи на высоте по формуле (2.25). Подставим значения чисел Грасгофа и Прандтля в формулу (2.25)
Среднее значение коэффициента теплоотдачи составляет
1. Как влияет высота стенки на коэффициент теплоотдачи?
2. Для какого режима движения жидкости построена теория?
Перед великим умом - склоняю голову,
перед великим сердцем - преклоняю колени.
В природе повсюду можно встретить явления массопередачи, которые кроме того имеют важное значение во всех отраслях науки и техники. Чтобы протекала химическая реакция, необходим перенос массы; будь то промышленный реактор, биологическая система или исследовательская установка. Для протекания реакции реагенты должны встретиться, и наоборот, реакция замедляется, если не удаляются ее продукты.
Важны факторы, определяющие скорость межфазного переноса. Размеры и стоимость массообменного оборудования обратно пропорциональны плотности потока массы через поверхность раздела фаз.
Массопередачу условно можно разделить на четыре области: молекулярная диффузия в неподвижной среде, диффузия в жидкостях при ламинарном течении, турбулентная диффузия и массопередача между двумя фазами.
В пределах одной фазы перенос (массоотдача) осуществляется молекулярной диффузией, турбулентной диффузией или с помощью обоих механизмов. Молекулярная диффузия обусловлена тепловым движением молекул. Молекулы движутся с большими скоростями, но проходят короткие расстояния, поскольку сталкиваются с другими молекулами и отклоняются в случайных направлениях. В результате обычной диффузии градиенты концентрации имеют тенденцию к исчезновению.
Молекулярная диффузия может происходить под воздействием концентрационных, температурных градиентов (термодиффузия) или градиентов давления (бародиффузия), или же в том случае, когда на смесь накладывается направленный внешний электрический или иной потенциал. В совершенно неподвижной газовой или жидкостной смеси неизбежно возникает градиент концентрации в направлении заданного температурного градиента («эффект Соре»). Например, в двух соединенных между собой колбах, содержащих смесь из 35,6 % водорода и 64,4 % неона, установится разница концентраций, равная 6,9 %, если одну колбу поддерживать при 290,4 К, а другую – при 90,2 К. Этот процесс, известный под названием термодиффузии, применялся для разделения урана и других изотопов. Градиент вязкостных касательных напряжений в жидкой смеси создает стационарный концентрационный градиент. В живой ткани диффузия может происходить в направлении отрицательного концентрационного градиента. Такое явление <<активного переноса>> объясняется, по-видимому, подводом свободной энергии, необходимой для концентрирования, которая заставляет растворенное вещество диффундировать <<в гору>>. Если этот процесс окажется понятным, он может получить распространение в промышленности. Действительно, были попытки использовать бактерии для концентрирования руд.
Молекулярная диффузия описывается первым законом Фика, согласно которому количество вещества dM, продиффундировавшего за время dt через элементарную поверхность dF (нормальную к направлению диффузии), пропорционально градиенту концентрации dc/dn этого вещества:
или
(2.26)
где q=M/Ft - плотность потока массы через нормальную площадку.
Коэффициент пропорциональности D в выражении закона Фика называется коэффициентом диффузии. Знак минус указывает на то, что молекулярная диффузия всегда протекает в направлении уменьшения концентрации. Коэффициент диффузии имеет размерность
Коэффициент диффузии является физической константой и зависит от свойств распределяемого вещества, свойств среды, температуры и давления. Для измерения коэффициента диффузии в воде, например, используют <<ячейку с диафрагмой>>. Ячейка представляет собой цилиндрический стеклянный сосуд, разделенный пористым стеклянным диском на две камеры. Нижняя камера заполняется водным раствором исследуемого вещества, а верхняя - равным объёмом воды. Растворенное вещество диффундирует через пористый диск, при этом концентрация в обеих камерах стремится выровняться. При этом расчетный коэффициент диффузии занижен вследствие того, что путь диффузии вдоль извилистой поры больше, чем по нормали к поверхности. Эффективный коэффициент диффузии можно определить так D=Di, где Di - измеренный коэффициент диффузии через пористую диафрагму, - коэффициент извилистости каналов диафрагмы (>1. определяется экспериментально).
Вторым законом Фика называют дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентраций в пространстве и во времени. Рассмотрим одномерный случай, когда концентрация зависит лишь от x.
Рис. 2.10. Схема одномерной диффузии
Вычислим потоки вещества через две плоскости, находящиеся на расстоянии Dx (рис. 2.10). Через левую плоскость поток равен -DF(¶c/¶x), а через правую -DF(¶c/¶x)|x+Dx.
В результате за время Dt в объёме FDx прибавится количество вещества
Взяв два первых члена разложения последнего слагаемого в ряду Тэйлора
получим
Это элементарное количество вещества приведет к увеличению его концентрации во времени. Следовательно,
Dq=(¶c/¶t)FDxdt.
Таким образом, приравнивая Dq, получим одномерное дифференциальное уравнение нестационарной диффузии
(2.27)
Рис. 2.11. Процесс одномерной нестационарной диффузии в пластине толщиной
Рассмотрим процесс нестационарной диффузии в бесконечной пластине конечной толщины (рис. 2.11). На левой поверхности пластины задана концентрация co распределяемого вещества. Правая сторона пластины свободна, т.е. поток массы отсутствует q=-D(¶c/¶x)=0 при x=. В начальный момент времени распределяемого вещества нет в пластине, т.е. t=0, с=0. Глубину проникновения вещества в пластину обозначим как d(t). Найдем, используя интегральный метод, время, необходимое для достижения диффундирующим веществом левой поверхности пластины. При бесконечном времени процесса концентрация по сечению пластины становится однородной и соответствует со.
С учётом принятых допущений, задача описывается уравнением (2.27), дополненным начальным и граничными условиями:
t=0, с=0, (2.28)
x=0, c=co, (2.29)
x=, ¶c/¶x=0, (2.30)
x=d, c=0, ¶c/¶x=0. (2.31)
Условия (2.31) даны для переднего фронта проникновения (см. рис.2). Введем безразмерные переменные и параметры:
.
С учетом безразмерных переменных система уравнений (2.27)-(2.31) примет вид
(2.32)
Fo=0, C=0, (2.33)
X=0, C=1, (2.34)
X=1, ¶C/¶X=0, (2.35)
X=D, C=0, ¶C/¶X=0. (2.36)
Усредним уравнение (2.32) по глубине проникновения, для чего умножим его на dX и проинтегрируем по X от 0 до D(Fo)
Для левой части используем формулу интегрирования Лейбница
,
откуда
Но, согласно условию (2.36), С(D)=0. Следовательно, имеем
(2.37)
Здесь учитывалось условие (2.36) ¶C/¶X=0 при X=D.
В правой части (2.37) стоит неизвестный градиент концентраций на левой стенке.
Пусть распределение концентраций описывается квадратичной зависимостью. Методом неопределенных коэффициентов, с учётом условий (2.36), для распределения концентраций принимаем параболическое приближение
(2.38)
Подставляя (2.38) в (2.37), получим дифференциальное уравнение для D
Разделяя переменные и интегрируя с учётом начального условия Fo=0, D=0, имеем
D2=12Fo .
Отсюда находим число Фурье, соответствующее моменту достижения веществом правой стороны пластины. При этом D=1 и Fo*=1/12.
Следовательно, для коэффициента диффузии можем записать(Fo*=Dt*/) где t*- время достижения молекулами диффундирующего вещества правой стороны пластины (см. рис.2.8)
литература
1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. -М.: Наука, 1969. -744с.
2. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров. –М.: Химия, 1977.-464с.
3. Шервуд Т., Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. -М.: Химия,1982. -696с.
4. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. -М.:Химия,1971. -784с.
6. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. школа,1978. -328с.
7. Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. Учебное пособие для вузов. –Л.: Химия, 1987. –576 с.
8. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). –М.:Энергия, 1978. –480 с.
9. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. Учебник для вузов. -М.: Энергия, 1975. -488 с.
10. Теплофизические свойства полимерных материалов. Справочник. Пивень А.Н., Гречаная Н.А., Чернобыльский И.И. -К.: Вища школа, 1976. -180 с.
11. 11. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. -М.:Высшая школа,1991. -447с.
12. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред.-М.:Высшая школа,1972. -368с.
13. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1982. –208-210 с.
14. Цой П.В. Методы расчета задач теплопереноса.-М.: Энергоатомиздат, 1984.-416с.
15. Батунер Л.М., Позин М.Е. Математические методы в химической технике. -Л.: Химия, 1971.-824с.
=1 м; nо=0,81х10-6 м2/с; m=804х10-6 Па.с; b=3,21х10-4 К-1;l=0,618 Вт/(мК); Pr=5,42.
(2.26)
, где Di - измеренный коэффициент диффузии через пористую диафрагму, 
(2.27)
. В начальный момент времени распределяемого вещества нет в пластине, т.е. t=0, с=0. Глубину проникновения вещества в пластину обозначим как d(t). Найдем, используя интегральный метод, время, необходимое для достижения диффундирующим веществом левой поверхности пластины. При бесконечном времени процесса концентрация по сечению пластины становится однородной и соответствует со.
, ¶c/¶x=0, (2.30)
.
(2.32)
,
(2.37)
(2.38)
) 
где t*- время достижения молекулами диффундирующего вещества правой стороны пластины (см. рис.2.8)