Лейбниц

Задачи.

Решение.

Пример.

Полимерная цилиндрическая заготовка охлаждается на воздухе. Начальная температура 100 ^оС. Сколько времени потребуется для достижения температуры в центре 40 ^оС? Температура окружающей среды

20 ^оС. Диаметр заготовки 2 см. Коэффициент теплоотдачи 20 Вт/м²К. коэффициент теплопроводности 0,4 Вт/мК, температуропроводности 4^.10^-7 м²/с.

Найдем число Био

.

Следовательно, внутреннее и внешнее термические сопротивления соизмеримы. Используем расчетную формулу для общего случая

.

Центру отвечает координата х=0. Найдем безразмерную температуру центра

.

Подставим численные значения в формулу

.

Выполнив математические действия, запишем

.

Найдем число Фурье

.

Откуда находим время

.

Приблизительно 10 минут.

1. В условиях примера найти время охлаждения поверхности до температуры 40 ^оС.

2. Найти расход тепла.

Нестационарная теплопроводность шара при граничных условиях 3-го рода

Музыка – скрытое арифметическое упражнение души,

не умеющей себя вычислить.

В технологии переработки полимеров часто встречается технологическая операция, связанная с прогревом или охлаждением изделий, имеющих форму, близкую к форме шара. Например, вулканизация резиновых изделий (имеет место прогрев материала), охлаждение в литьевой форме изделий из термопластов после формования. Во всех указанных случаях, а также в ряде других имеет место нестационарная теплопроводность тела шарообразной формы. Задачей является определение необходимого времени для достижения внутренней точкой изделия нужной температуры. Поскольку именно это время определяет продолжительность технологического процесса, а следовательно и производительность оборудования.

Считаем задачу осесимметричной (). Расчетная схема представлена на рис. 2.6.

Уравнение энергии, описывающее нестационарное поле в шаре, имеет вид

,

t=0; T=T₀,

r=0; ,

r=R_, -,

где а – коэффициент температуропроводности, Т_о- начальная температура материала шара, Т_с – температура окружающей среды.

Введем безразмерные переменные и параметры

x=; F₀=; ; Bi=.

Тогда задача примет форму

,

F₀=0; ,

x=0; ,

x=1; .

Приближенное решение ищем в формуле

.

Элемент объема в сферических координатах

dV=.

Следовательно, условие ортогональности имеет вид

Невязка уравнения энергии для заданного температурного поля имеет вид

.

В развернутой форме условие ортогональности имеет вид

.

Раскроим скобки в подынтегральном выражении

.

После выполнения интегрирования, получим дифференциальное уравнение первого порядка для неизвестной функции а

.

Разделим переменные и проинтегрируем с учетом начального условия

В результате получим выражение для функции а

Для определения постоянной а_о используем интегральное условие

=1.

Выполнив интегрирование, получим

.

Таким образом, имеем следующее выражение для расчета безразмерной температуры любой точки внутри шара

.

В случае высокой интенсивности теплообмена (Bi>>1) можно считать на поверхности шара граничное условие первого рода. В этом случае расчетное выражение для температуры существенно упрощается

.

Наиболее медленно изменяется температура внутренней точки шара, находящейся в центре, т.е. имеющая координату х=0. Температура в центре шара

.

2.7. Теория пленочной конденсации Нуссельта

Сильное воображение порождает событие.