Пример.

Байрон

Л.Толстой

Течение вязкой жидкости в коаксиальном зазоре при вращении одного из цилиндров

Задачи.

Решение.

Пример.

Наносится покрытие посредством наклонного ножа. Высота передней кромки ножа 5 мм, задней 0,5 мм. Найти толщину покрытия.

Подставим численные значения в расчетную формулу

.

1. Как связаны угол наклона ножа и толщина покрытия?

2. Используя данные примера, найти расход наносимой жидкости, если ширина ножа 0,5 м., а скорость нанесения 0,1 м/с.

Бессмыслица жизни есть единственное несомненное знание, доступное человеку.

Я знаю, что поэзия – пустяк.

Наука - вот действенная сила.

Этот вид течения имеет место в подшипниках скольжения без радиальной нагрузки. Течение широко используется для изучения реологических свойств неньютоновских жидкостей на вискозиметре с коаксиальными цилиндрами (см. рис.1.23). Зазор между цилиндрами заполняется исследуемой жидкостью. Один из цилиндров приводится во вращение, а другой неподвижен. По величине крутящего момента, обусловленного силами вязкого трения, судят о вязкости жидкости. Рассмотрим движение жидкости в зазоре, когда внешний цилиндр неподвижен, а внутренний вращается со скоростью w, как показано на рис.

1.21,а и рис. 1.22. Течение жидкости описывается уравнением движения в цилиндрических координатах

, .

Подставив в уравнение движения выражение для касательного напряжения, получим дифференциальное уравнение второго порядка для окружной скорости . Отсюда видно, что выражение в квадратных скобках является величиной постоянной, т.е. можем записать

.

Разделим переменные и проинтегрируем

.

Для окружной скорости имеем выражение

.

Постоянные интегрирования находятся из граничных условий. Граничные условия заключаются в прилипании жидкости к обеим поверхностям цилиндров: r=r₁, u_q=wr; r=r₂ , u_q=0.

Получаем систему двух алгебраических уравнений для неизвестных постоянных wr=c₁r₁-c₂/r₁, 0=c₁r₂ +c₂/r₂.

Выразим, пользуясь вторым уравнением, одну постоянную через другую

,

подставляя это выражение в первое уравнение, последовательно находим

, .

Таким образом, для окружной скорости имеем выражение

.

Крутящий момент обусловлен действием касательных напряжений на поверхность цилиндра и может быть найден по формуле: M=Fr₁, где - усилие от касательных напряжений, действующих на поверхность внутреннего цилиндра, h – высота цилиндра.

Найдем касательное напряжение, однородное по поверхности цилиндра

.

Выполнив дифференцирование, имеем

.

Следовательно, для крутящего момента получим выражение

.

Знак минус перед формулой можно игнорировать, поскольку он связан с направлением вращения цилиндра.

Отсюда, если найдено значение крутящего момента М (например, из эксперимента), то значение вязкости рассчитывается по формуле

.

Рассеиваемая за счет сил вязкого трения энергия находится по формуле

,

или в развернутой форме

.

Отметим, что при малых зазорах d<< r₂, d=r₂-r₁ распределение скорости в зазоре близко к линейному закону, поскольку в зазоре реализуется течение простого сдвига.

При измерении вязкости на ротационном вискозиметре получены следующие результаты:M=0,01 Н^.м, ω=3c^-1. Размеры измерительного узла: r₁=2 см, r₂=2,5 см, h=0,1 м. Найти вязкость жидкости.