Л. Фейхтвангер.

Напорное течение вязкой жидкости в прямоугольном канале

Задачи.

Решение.

Пример.

Посредством экструдера формуется полиэтиленовая труба. Найти давление на входе формующей головки. Размеры формующего канала фильеры: диаметры канала 17 мм и 25 мм, длина канала 5 см. Эффективная вязкость полиэтилена 1000 Па.с. Производительность экструдера 10^.10^-3 м³/час.

Используем формулу

Отсюда для давления имеем

.

Предварительно найдем К по формуле

,

где R_m, R_b – меньший и больший радиус формующего отверстия, соответственно.

Найдем производительность

.

Наибольший радиус R_b=12,5^.10^-3 м.

Подставим все величины в расчетную формулу

. ΔР=0,4 МПа.

1. Показать, что при малой разнице радиусов кривизну канала можно не учитывать и рассматривать течение как течение в плоской щели шириной 2πR. (Указание перейти к новой переменной К=1-ε, ε<<1. Учитывать асимптотические формулы (1-ε)ⁿ≈1-nε, ln(1-ε) ≈- ε).

2. Найти силу, действующую со стороны потока расплава на центральный стержень, для условий, представленных в примере.

Бросьте женщин, займитесь математикой.

Рассматриваемый вид течения имеет место при литьевом формовании полимеров. Литьевые каналы пресс-формы выполняются часто прямоугольной формы. Задача состоит в определении поля скоростей и зависимости расхода от перепада давления.

Высота и ширина канала одного порядка. Поэтому задачу нельзя свести к вышерассмотренному случаю плоской щели. Размеры поперечного сечения канала 2а´2в. Схема течения представлена на рис. 1.12.

Двумерное течение описывается уравнением движения

.

Давление однородно в поперечном сечении канала

.

Откуда следует, что в поперечном направлении течение отсутствует u_y=u_x=0.

Граничные условия задачи сводятся к условию прилипания жидкости к боковым стенкам x=±a, u_z=0; y=±b, u_z=0.

Согласно уравнению движения и граничным условиям, для скорости имеем задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Запишем уравнение движения так:

,

где .

Решение задачи ведем методом ортогональных проекций Бубнова-Галеркина. Будем приближенное решение искать в виде

,

где - некоторая система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям, с_i- неизвестные постоянные. Функции j_i линейно независимы, т.е. для них должно выполнятся условие

С учетом симметрии задачи u(x)=u(-x), u(y)=u(-y), принимаем в первом приближении (первый член ряда n=1) базисную функцию в виде

j_i=(a²-x²)(b²-y²).

А само приближенное решение ищем в форме

(a²-x²)(b²-y²).

где с- неизвестная постоянная (индекс 1 опущен).

Потребуем ортогональности невязки уравнения Пуассона к координатной функции в области определения дифференциального оператора. Ввиду симметрии задачи и граничных условий ограничимся первым квадрантом

.

Предварительно найдем входящие в невязку производные от скорости

Таким образом, в развернутой форме условие ортогональности невязки записывается

.

Вначале выполним интегрирование по x. Для чего раскроем скобки в подынтегральном выражении следующим образом:

.

Выполним внутреннее интегрирование

.

Далее, раскроем скобки для интегрирования по переменной у

.

В результате интегрирования получим алгебраическое уравнение для неизвестного коэффициента с

.

Раскрывая скобки, и приведя подобные члены, получим

.

Откуда находим выражение для неизвестного коэффициента с

.

Следовательно, в первом приближении поле скоростей описывается выражением

.

Расход жидкости определяется интегралом (учитывая симметрию, достаточно выполнить интегрирование в первом квадранте)

.

Выполнив интегрирование, с учетом выражения для осевой скорости, получим

.

Вспоминая выражение для параметра А, можем записать

.

Средняя по сечению скорость находится путем деления объемного расхода на площадь поперечного сечения канала

.

Если поперечное сечение представляет квадрат, то необходимо положить а=b. Имеем

.

В полученном приближенном решении постоянный множитель равен 5/36=0.139. Точное значение постоянного множителя 0.142. Расхождение составляет 0.003. Таким образом, полученное приближенное решение задачи вполне приемлемо для инженерных расчетов.

В случае бесконечной щели в выражении для средней скорости необходимо положить а² ®¥. При этом получим

.

В полученном выражении значение множителя составляет 5/18=0.279. Точное значение множителя 0.334.