С.В. Ковалевская.

Паскаль

Аксиальное течение вязкой жидкости в кольцевом канале

Задачи.

Решение.

Используем расчетные формулы

,

.

Подставив численные значения, найдем

, .

1. Как изменятся расходы компонентов в условиях рассмотренного примера, если давление в головке увеличить в 2 раза?

2. Какому виду течения будет соответствовать решение задачи, если в расчетных формулах положить δ₁=-δ₂=δ, μ₁= μ₂= μ?

Меня ужасает вечное безмолвие этих пространств.

Стоит мне только коснуться математики,

я опять забуду все на свете.

Рассмотрим ламинарное течение вязкой жидкости в коаксиальном канале (радиальном зазоре между соосными цилиндрами) под действием перепада давления. Учитываем кривизну канала. Отметим, что при малой высоте радиального зазора между цилиндрами кривизной канала можно пренебречь и рассматривать течение как течение в плоской щели. Схема течения и система цилиндрических координат представлены на рис. 1.11. В поперечном сечении канала давление однородно, и можно считать ¶R¤¶r=0. В осевом направлении градиент давления постоянен Радиус наружного цилиндра R, внутреннего - kR, где k<1.

Уравнение движения: , .

Граничные условия задачи. Условия прилипания к внутреннему и наружному цилиндрам записываются так: r= R, u_z=0; r= kR, u_z=0.

Умножим обе части уравнения движения на rdr и проинтегрируем

.

Подставляя выражение для касательного напряжения t_rz, перейдем к уравнению для осевой скорости

.

Разделим обе части равенства на rm

,

далее, разделим переменные и проинтегрируем

.

Найдем постоянные интегрирования с₁ и с₂, используя граничные условия. При этом получим систему алгебраических уравнений

Вычтем из первого уравнения второе

.

Откуда находим постоянную

.

Подставляя с₁ в первое уравнение системы, найдем

.

Следовательно, профиль осевой скорости описывается выражением

.

Видно, что распределение скорости существенно отличается от течения в плоской щели (см. раздел 1.6.2), где профиль скорости параболический.

Объемный расход жидкости определяется интегралом

.

Выполнив интегрирование, получим

.

Сила, действующая на поверхность центрального стержня длиной l, обусловленная касательным напряжением (иногда называемая сдирающим усилием), определяется выражением

,

где выражение для касательного напряжения в развернутой форме

.

Следовательно, касательное напряжение на поверхности цилиндра

.

В частном случае, при k®0, что соответствует уменьшению радиуса центрального стержня , течение в кольцевом канале переходит в случай течения в круглой трубе (без центрального стержня). При этом профиль осевой скорости описывается параболой

,

а расход

,

описывается известной формулой Пуазейля

.

Знак минус обусловлен отрицательным значением градиента давления.