Экспоненциальное сглаживание

Наиболее часто на практике применяются методы, используемые процедуру экспоненциального сглаживания.

Для экспоненциального сглаживания ряда используется следующая формула:

St =

St – значение экспонентной средней в момент времени t;

- параметр адаптации; 0≤≤1

=1-

Если последовательно использовать данное соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через предшествующие значения уровней временных рядов:

St =

Таким образом, величина экспоненциальной средней оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда, причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции.

Доказано, что дисперсия экспоненциальной средней меньше дисперсии временного ряда. Между этими дисперсиями существует следующее соотношение:

Дs_t=

При высоком значении параметра адаптации дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии временного ряда. С уменьшением , дисперсия экспоненциальной средней уменьшается, и возрастает ее отличие от дисперсии временного ряда. Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль фильтра, поглощающего колебания временного ряда. Таким образом, с одной стороны следует увеличивать параметр адаптации, а с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, его следует уменьшать. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра адаптации и составляет задачу оптимизации модели. Достаточно часто поиск значения параметра адаптации осуществляется путем перебора.

При использовании экспоненциальной средней для прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет следующий вид:

Yt=a1,t+et

a1,t – варьирующий во времени средний уровень ряда;

et – случайное неавтокоррелированное отклонение от тренда.

Прогнозная модель определяется следующим соотношением:

у прогн = a1,t

a1,t – оценка a1,t

a1,t = St

Процедура прогнозирования временного ряда по методу экспоненциального сглаживания состоит из следующих этапов:

1) выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение параметра адаптации;

2) определяются начальные условия.

Начальные условия обычно получают усреднением нескольких первых уровней ряда.

S0=

3) производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних;

4) находятся оценки коэффициента модели;

5) осуществляется прогноз на одну точку вперед, находятся отклонения фактического значения временного ряда от прогнозируемых. Этапы с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех t≤n;

6) окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t=n.

Рисунок - Схема построения адаптивных моделей прогнозирования

y(t) – фактические уровни временного ряда;

yǐ(t) – прогноз, сделанный в момент t на ǐ единиц времени (шагов) вперед;

Еt+1 – ошибка прогноза.