Оптимизационные модели

Оптимизационная модель представляет собой модель математического программирования, состоящую из целевой функции и системы ограничений в форме уравнений или неравенств, и направлена на поиск наиболее эффективного (оптимального) управленческого решения при соблюдении установленных ограничений.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от искомых переменных. На макроуровне критерием оптимальности может являться максимум валового национального дохода, максимум среднедушевого денежного дохода. На микроуровне: максимум прибыли предприятия, минимум затрат и др.

Например, общий вид модели для расчета оптимального варианта производства продукции на предприятии:

Целевая функция:

Система ограничений:

ограничения по сбыту

ограничения по мощности

ограничения по снабжению

условие неотрицательности

где - цена реализации единицы товара -го вида;

- затраты на изготовление единицы товара -го вида;

- количество товара -го вида, подлежащее изготовлению;

- обязательный минимальный объем производства товара -го вида, обусловленный необходимостью выполнения уже заключённых договоров или необходимостью сохранения своего присутствия с минимальным предложением на рынках, привлекательных в долгосрочном периоде;

- максимально возможный объём реализации товара -го вида;

- норма затрат времени по изготовлению единицы товара -го вида на оборудовании -го вида;

- фонд рабочего времени на оборудовании -го вида;

- нора затрат материала -го вида на изготовление единицы товара -го вида;

- имеющийся фонд -го вида сырья.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных параметров. Стохастические (вероятностные) модели в отличие от детерминированных описывают случайные процессы, в которых результат всегда остаётся неопределённым. В настоящее время разработано большое количество программных пакетов, позволяющих решать сложные оптимизационные задачи на основе ЭВМ.

Пример Малое предприятие изготавливает и реализует два вида продукции. Количество ресурсов, имеющихся на складе предприятия и нормы их затрат на изготовление продукции представлены в таблице 13:

Таблица 13

Ресурсы предприятия и нормы их затрат

Прибыль от реализации продукции 1-го вида – 2 руб/шт., 2-го вида – 3 руб/шт. Сколько продукции каждого вида следует изготовить, чтобы получить максимально возможную прибыль.

Решение:

Обозначим искомое количество продукции первого вида , а второго вида , тогда целевая функция, максимизирующая прибыль предприятия будет иметь вид:

Система ограничений:

Наиболее простой и быстрый путь решения данной задачи – использование средств ЭВМ. Более трудоёмкий способ решения – графический.

По осям отложим количество продукции и . Построим линии ограничения (на графике они пронумерованы соответственно номерам неравенств в модели). Область возможных значений объёмов производства продукции заштрихована пунктирными линиями. Оптимальному варианту производства продукции соответствуют либо координаты точки А или координаты точки К (рис.7).

600 1

400 К

300

А

400 600 800

Рис.7. Графическое решение оптимизационной задачи.

Найдем координаты точек А и К.

Для точки А: , подставляя в неравенство 1 или 2 имеем .

Прибыль

Для точки К , подставляя в неравенство 2 имеем .

Прибыль

Наибольшая прибыль соответствует точке А.

Ответ: Необходимо изготовить 400 единиц продукции первого вида и 200 второго.

Особенностью оптимизационных моделей с которой приходится считаться при их использовании является однокритериальность. То есть поиск лучшего решения осуществляется по одному критерию. В то же время большинство социально-экономических процессов характеризуется системой показателей. Поэтому при математическом описании сложных, протекающих во времени экономических процессов, характеризуемых несколькими показателями часто используются имитационные модели.