Рассмотрим функцию .

Функция имеет разрыв 2 рода в точке x=0.

y(+0)=+¥ y(-0)=0

Эту функцию, если угодно, можно сделать непрерывной в т. x=0 слева, положив y(0)=y(-0)

Приметр 2.

Функция имеет в точке x=0 разрыва 2 рода т.к. она не имеет в этой точке односторонних пределов.

Пример 3.

Функция имеет в точке x=0 устранимый разрыв, т.к. функцию можно сделать непрерывной, положив

Асимптоты графика функции.

Определение

Прямая называется асимптотой кривой L: y=f(x), если при удалении точки M(x;y) по кривой L в бесконечность ее расстояние до прямой стремится к 0.

Различают 2 вида асимптот:

1) асимптоты вида y=kx+b или наклонные ( т.е. не параллельные оси Оу) среди них иногда выделяют асимптоты у=в, называемые горизонталями.

2) асимптоты вида x=а, или вертикальные, т.е. асимптоты параллельные оси Оу.

Рассмотрим в общем виде вопрос об отыскании асимптот. Пусть правая ветвь линии L:y=f(x) имеет наклоную асимптоту у=кх+в.

Из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки (х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 находится по формуле . Применяя эту формулу, растояние от точки M(x;f(x)) до асимптоты найдем как .

Итак, если прямая y=kx+b асимптота, то k и b вычисляются полученными формулами. Верно и обратные формулы. Если lim для k и b существует, то выполняется цепочка предыдущих равенств и следовательно и y=kx+b – асимптота графика функции y=f(x).

Очевидно, можно утверждать, что для того, чтобы функция ) имела в точке х₀ конечную производную необходимо, чтобы в этой точке она имела односторонние конечные производные равные между собой.

Производная есть скорость изменения функции в точке х

Пример:

Рассмотрим ,например, прямолинейное движение точки, определяемой формулой

(средняя скорость)

Таким образом, производная даёт мгновенную или истинную скорость движения точки в момент времени . Производная – скорость течения процесса.

Геометрический смысл производной.