Стохастический факторный анализ

Сфера применения методов детерминированного факторного анализа

Стохастическая связь – неполная, вероятностная связь, которая проявляется в массе наблюдений. Различают парнуюимножественную корреляцию.

Парная корреляциявозникает между двумя показателями, один из которых факторный, а второй – результативный.

Множественная корреляциявозникает в результате взаимодействия нескольких факторных и одного результативного показателя.

Условия применения корреляционного анализа.

1. Достаточно большое количество исходных данных о поведении факторных и результативных показателей.

2. Количественное измерение, отражение в отчётности величин факторных и результативных показателей.

Корреляционный анализ используется для:

1) количественной оценки влияния факторов на результативный показатель, т.е. на сколько единиц изменится результативный показатель при изменении факторного показателя на единицу своего измерения;

2) установления относительной степени зависимости между факторным и результативным показателями.

Для решения этих задач подбирается соответствующий тип математического уравнения. Тип зависимости определяется с помощью группировки данных и линейных графиков. Расположение точек на графике покажет тип математического уравнения (прямолинейную или криволинейную зависимость).

Прямолинейное уравнение:

y = a + b * x,

где a и b – параметры уравнения регрессии. Они определяются с помощью системы нормальных уравнений:

a * n + b * Σx = Σy

a * Σx + b * Σx² = Σxy

Довольно часто в экономических явлениях показатель может сначала возрастать до определённого момента, а затем начинает снижаться. В этом случае модель описывается криволинейной зависимостью. Например, зависимость производительности труда рабочих от возраста.

Выделяют следующие основные типы криволинейной зависимости:

1) параболическая:

y = a + b * x + c * x²

2) гиперболическая:

y = a + b / x

При параболической зависимостисистема нормальных уравнений будет иметь следующий вид:

a * n + b * Σx + c * Σx² = Σy

a * Σx + b * Σx² + c * Σx³ = Σxy

a * Σx² + b * Σx³ + c * Σx⁴ = Σx²y

Для измерения тесноты связи между изучаемыми показателями рассчитывается коэффициент корреляции:

r = (Σxy – Σx * Σy / n) / [(Σx² – (Σx)² / n) * (Σy² – (Σy)² / n)]^1/2

Этот коэффициент изменяется в пределах [0; 1].

Коэффициент корреляции используется только в прямолинейной зависимости. Для оценки тесноты связи в криволинейных зависимостях используют корреляционное отношение. Данный показатель универсален и может также быть использован в прямолинейных зависимостях.

η = [(σ²_у – σ²_Ух) / σ²_у]^1/2

σ = [Σ(у – у_ср)² / n]^1/2

σ²_у = Σ(у – у_ср)² / n

σ²_Ух = Σ(у – у_х)² / n

Сложность расчёта показателя состоит в том, что вначале необходимо решить уравнение регрессии и рассчитать выровненные значения результативного показателя у_х, т.е. в рассчитанные уравнения регрессии подставить значения х и получить расчётное значение у. Сравнение расчётного значения со статистическим даёт возможность говорить о качестве проведённого анализа: чем ближе эти показатели друг к другу, тем качественнее анализ.

Многофакторный корреляционный анализ выполняется в несколько этапов.

1. Отбор факторов. Учёт причинно-следственных связей, отбор только значимых факторов (по критерию Student). Если парный коэффициент корреляции больше 0,85, то такие факторы исключаются из модели.

2. Сбор статистических данных и их оценка. Информация должна быть однородной. Критерием однородности служит среднеквадратическое отклонение, показывающее абсолютные отклонения индивидуальных значений от средней величины, и коэффициент вариации, показывающий относительную степень отклонения от средней величины.

Среднеквадратическое отклонениевычисляется по формуле:

σ = [Σ(х_i – х_ср)² / n]^1/2

Коэффициент вариациивычисляется по формуле:

V = σ / х * 100%

Если коэффициент вариации меньше 33%, то изменчивость вариационного ряда незначительна, и можно говорить о неоднородности информации. По наивысшему значению показателя вариации может быть определён необходимый объём выборки:

n = V² * t² / m²,

где

V – коэффициент вариации;

t – показатель надёжности связи; при уровне значимости р = 0,05 он равен 1,96;

m – точность расчётов (ошибка); в экономических расчётах допускается в размере 5-8%.

Однородность информации – соответствие информации закону нормального распределения.

Для количественной оценки степени отклонения информации от нормального распределения служат показатели асимметрии A_sи эксцесса E_x, а также отношение показателя асимметрии к её ошибке A_s / m_A и отношение эксцесса к его ошибке E_x / m_E. Если A_s / m_A < 3 и E_x / m_E < 3, то вся информация соответствует закону нормального распределения.

3. Подбор типа математического уравнения. Для прямолинейной зависимости уравнение можно записать в виде:

y = a + b₁ * x₁ + b₂ * x₂ + … + b_n * x_n

Для криволинейной зависимости (например, степенной):

y = b₀ * x₁^b₁ * x₂^b₂ * … * x_n^b_n

Решение таких уравнений проводится по типовым программам ЭВМ. Вначале формируется матрица исходных данных в виде:

По результатам расчёта получают парные и множественные коэффициенты корреляции и показатели, с помощью которых оценивается степень надёжности коэффициентов корреляции и условия связи.

Парный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя показателями в общем виде с учётом взаимосвязи с другими факторами.

Частный коэффициент корреляциипозволяет оценить эту зависимость в чистом виде.

4. Расчёт уравнения связи проводится пошаговым методом. На каждом шаге вводится новый фактор, рассчитывается уравнение регрессии и оцениваются коэффициенты корреляции, детерминации, стандартная ошибка, показатели, с помощью которых оценивают надёжность уравнения связи. Чем выше коэффициенты корреляции и ниже стандартная ошибка, тем точнее данное уравнение описывает экономический процесс.

Пример. у = 0,5 + 2 * х₁ – 3 * х₂ + 5 * х₃, где у – рентабельность, х₁ – производительность труда, х₂ – продолжительность оборота, х₃ – цена.

Из уравнения видно, что все факторы имеют различные единицы измерения, следовательно, в различных единицах измерения показывают степень воздействия каждого фактора на результативный показатель. Если встаёт вопрос о сравнительной силе воздействия каждого из факторов на результативный показатель, то все переменные выражают в долях среднеквадратического отклонения, рассчитывая β-коэфициенты:

β_i = b_i * σ_Xi / σ_y

Эти коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то зависимая переменная изменится на долю своего среднеквадратического отклонения.

5. Оценка уравнения связи осуществляется по критерию Фишера:

F = σ²_рег / σ²_ост,

где

σ²_рег – дисперсия по линии регрессии:

σ²_рег = Σ(y_Xi – y_Xср)² / (m – 1),

σ²_ост – остаточная дисперсия:

σ²_ост = Σ(y_i – y_Xi)² / (n – m),

где

m – количество параметров в уравнении регрессии (с учётом свободного члена а);

n – объём выборки.

Если F_расч > F_табл, то можно говорить о наличии связи между исследуемыми показателями.

Полученные уравнения регрессии могут использоваться для:

1) оценки результатов хозяйственной деятельности;

2) расчёта влияния факторов на прирост результативного показателя;

3) подсчёта резервов повышения уровня исследуемого показателя;

4) планирования и прогнозирования величин различных показателей.