Набор логических операций

Операции над нечеткими множествами

Пример с уровнем воды в баке

Мы теперь постараемся приблизиться к представлению о правилах нечеткого управления. В предпосылке

Если уровень воды в баке является низким,

ясно, что низкий является нечеткой переменной, другими словами, значением лингвистической переменной уровень. Терм низкий может быть представленв компьютере как вектор с названием низкий. Этот вектор определяется на универсуме, который включает весь диапазон ожидаемых значений уровня, т.е. включает интервал наполнения бака [0,100] в процентах. Само измерение уровень является скаляром, а высказывание (утверждение) уровень в баке является низким ищет значение функции принадлежности низкий(i). При этом измерение уровень округляется до ближайшего элемента в универсуме, чтобы найти соответствующий индекс i. Результатом всех этих операций

Рис. 1.4

является число, степень принадлежности , показывающее, насколько хорошо выполняется предпосылка. Если, например, =0,7, то элемент на 70% принадлежит к нечеткому множеству. Рис. 1.4 демонстрирует возможное определение терм-множества {низкий, высокий} для задачи с уровнем воды в баке. Если дискретный универсум представлен значениями

u = [ 0 20 40 60 80 100 ],

то измерение уровень, например 44 %, округляется до ближайшего элемента в универсуме, т.е. до 40 %. При этом, нумеруя по порядку элементы универсума, для данного измерения получаем i=2.

Функции принадлежности, очевидно, являются основополагающими компонентами нечеткого множества. Поэтому естественно определить операции над нечеткими множествами посредством операций над соответствующими функциями принадлежности.

Фактически совокупность нечетких операций создает новое нечеткое множество из одного или нескольких заданных нечетких множеств (рис. 1.5).

Определение 1 (набор операций). Пусть A и B будут нечеткими множествами, заданными на одном и том же универсуме:

а) пересечение A и B (другими словами, T-норма) в большинстве случаев есть логическое произведение нечетких множеств A и B

Операция minесть операция по определению минимума для каждой пары соответствующих элементов векторов a и b. Здесь представляют собой функции принадлежности множеств A и B соответственно.

Символ означает, что новое множество имеет функцию принадлежности, определяемую частью выражения, расположенного справа от символа, т.е.

;

б) объединение A и B (другими словами, S-норма или T-конорма) в большинстве случаев есть логическая сумма нечетких множеств A и B

где операция max есть операция по определению максимума для каждой пары соответствующих элементов векторов a и b;

в) дополнение A (другими словами, отрицание A) есть нечеткое множество

где каждое значение функции принадлежности множества A вычитается из 1.

Нечеткое множество A называется нечетким подмножеством множества B и обозначается как , если значения его функции принадлежности для всех точек универсума меньше или равны значениям функции принадлежности B,

Заде дал более наглядное и красивое определение операции пересечения как самого малого нечеткого множества, содержащего как A, так и B. Другими словами, если D есть нечеткое множество, содержащее как A, так и B, оно также содержит . Объединение нечетких множеств может быть определено аналогично. Очевидно, что объединение A и B есть самое большое множество, которое содержит как A, так и B.

На рис. 1.5 показаны три простых операции над нечеткими множествами, причем, как видно, .

Рис. 1.5

Таблица 1

Коммутативность

Ассоциативность

Дистрибутивность

Дистрибутивность Формула де Моргана

Формула де Моргана

Абсорбция

Идемпотентность

Комплeментарность (дополнение) НЕудовлетворяется

Комплементарность (дополнение) НЕудовлетворяется

Пример 1.7 (покупка дома). Рассмотрим задачу принятия решения в условиях неопределенности, Пусть семья из четырех человек хочет купить дом. Как показатель комфортабельности они принимают число отдельных спален в доме. Однако, кроме того, они желают, чтобы сам дом был большим с точки зрения метража. Пусть u = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] - множество доступных для покупки домов, описываемых числом имеющихся в них спальных комнат. Тогда нечеткое множество C (комфортабельный) можно описать как

Пусть нечеткое множество D (большой) определяется (для продаваемых домов) как

При этом пересечение множеств комфортабельный и большой () описывается функцией принадлежности

Полученный результат можно интерпретировать так: 5 спален − наилучшее решение, но со степенью принадлежности 0,6; вторым с точки зрения пересечения будет решение 4 спальни.

Объединение множеств комфортабельный и большой ()имеет функцию принадлежности

Здесь 4 спальни является полностью удовлетворительным решением с точки зрения комфортабельности (степень принадлежности равна 1), а также дома с числом спален от 7 до 10, потому что эти дома очень большие. Кстати дополнение множества большой описывается функцией принадлежности

Операции и ассоциативны, коммутативны и обладают еще другими свойствами (см. табл. 1). Эти свойства весьма важны, т.к. они помогают предсказать результат пространных рассуждений. Можно определить другие элементарные операции над множествами, однако обычно используются и min.

Из последних двух свойств нечетких множеств следует: а) в отличие от логического произведения обычных (четких) множеств логическое произведение множества и его отрицания не обязательно образует пустое множество; б) точно так же логическая сумма нечеткого множества и его отрицания не образует универсальное множество. Заметим, что для четких множеств , .

Алгебраические бинарные операции над нечеткими множествами. Операции min и max вызывают некоторые трудности при анализе систем нечеткого логического вывода. Поэтому для вычисления T-норм и S- норм наряду с логическими используют алгебраические операции над нечеткими множествами.

Алгебраическое произведение нечетких множеств A и B (T-норма) обозначается A*B или и формулируется следующим образом

Алгебраическая сумма этих множеств(S-норма) обозначается A+B и формулируется следующим образом

Демонстрационные примеры, касающиеся операций над нечеткими множествами, можно найти в файлах MATLAB6p5\work\Fuzzy_Bab\krm05-2\example 1.m и example 2.m.