Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.

Часть 2. Числовые и функциональные ряды

Гармоническое поле.

Скалярное поле называется гармоническим, если

- уравнение Лапласа.

Векторное поле называется гармоническим,если оно потенциальное (), а потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. .

Теорема.Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .

Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.

Числовой ряд– это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .

Примеры

1. 1+- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее сумма равна ,

2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.

3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).

При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+, =1+1+- суммы n членов ряда – частичные суммы ряда .

Ряд называется сходящимся,если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда
.

Рядназывается расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.

Необходимый признак сходимости ряда.Если ряд сходится, то .

Доказательство. . Пусть ряд сходится, тогда .

Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.

Достаточный признак расходимости.Если , то ряд расходится.

Доказательство (от противного). Пусть ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда Противоречие с .

Пример. Ряд расходится, так как

Пример Ряд расходится, так как .