Теорема Стокса.

Свойства ротора.

Ротор векторного поля.

Лекция 9 Формула Стокса.

Назовем ротором векторного поля вектор

1) Линейность

= +

= .

2) - постоянное векторное поле.

3)

=

+= .

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей .

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива формула Стокса

Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стокса состоит из трех независимых частей (в силу произвольности компонент векторного поля). Докажем одну из этих частей, остальные формулы доказываются аналогично. Докажем - часть формулы Стокса, в которой содержится только компонента P. Предположим, что поверхность описывается уравнением . Тогда нормаль к поверхности

представляет собой вектор

Отсюда видно, что . Вспомним еще, что .

(на поверхности , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности)

=

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде

. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P . Продолжаем равенство дальше.

=.

В самом деле, на контуре , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интеграломвекторного поля по дуге L называется криволинейный интеграл .

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляциейвекторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

.

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.