Свойства криволинейного интеграла первого рода.

Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.

Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.

Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).

1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А)

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.

Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:

.

Теорема существования[10].

Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L[11]. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

Замечание. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

1. Линейность
а) свойство суперпозиции

б) свойство однородности .

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если,то =+

Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L₁, так и элементы L₂. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. .Здесь – длина дуги .

4. Если на дуге выполнено неравенство , то

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно