Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

Приложения двойного интеграла.

Лекция 2. Приложения двойного интеграла.

Теорема.Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей D_xy и D_uv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D_xy. Тогда

, где - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q₁, Q₃, Q₄, Q₂ – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P₁, P₃, P₄, P₂.

P1 y x P3 P4 P2 Q1 Q2 Q4 Q3 v u

Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),

Приближенно будем считать ячейку P₃, P₄, P₁, P₂.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

.

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью в первом октанте.

.

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Пусть поверхность s, площадь которой надо вычислить, задана уравнением F(x, y, z) = 0 или уравнением z = f(x, y). Введем разбиение s на ячейки Dsk, не имеющие общих внутренних точек, площадью Dvk. Пусть область s и ячейки Dsk проектируются на плоскость OXY в область D и ячейки Ddk площадью Dsk. Отметим на ячейке Ddk точку Mk. В точке Qk (ячейки Dsk), которая проектируется в точку Mk, проведем единичный вектор нормали nk {cosak, cosbk, cosgk} к поверхности s и касательную плоскость. Если приближенно считать равными площадь Dvk ячейки Dsk и площадь ее проекции на касательную плоскость,

то можно считать справедливым соотношение Dv_k cosg_k = Ds_k. Выразим отсюда

Dv_k=Ds_k/ cosg_k. Будем измельчать разбиение при условии max diam Ds_k ®0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam Dd_k ®0. Вычислим площадь поверхности как двойной интеграл

.

Сюда остается лишь подставить .

Если поверхность s задана уравнением F(x, y, z) = 0, то

Поэтому в этом случае , .

.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно

свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:

.

Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями

. .