ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ № 1

Интегральным уравнением называют уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла . Интегральными уравнениями описываются законы сохранения массы, энергии, импульса. К интегральным уравнениям приводят инженерные задачи в радиотехнике, газовой динамике, электродинамике, экологии, экономике и др. Например, задачу Коши можно представить в интегральной форме , задавать начальное условие в этом случае не нужно, оно уже включено в уравнение.

Мы рассмотрим только линейные интегральные уравнения относительно скалярной функции одной действительной переменной .

Интегральное уравнение называется линейным, если искомая функция входит в уравнение линейно. Из линейных уравнений запишем только уравнение Фредгольма первого и второго рода и уравнения Вольтерра первого и второго рода, а рассмотрим решение уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода (численные методы, которые мы рассмотрим, применимы также для решения нелинейных интегральных уравнений).

1. Уравнение Фредгольма второго рода

2. Уравнение Вольтерра второго рода

3. Уравнение Фредгольма первого рода

4. Уравнение Вольтерра первого рода

Функция в этих уравнениях называется ядром уравнения. В уравнениях Фредгольма ядро определено и ограничено в квадрате , В уравнениях Вольтерра ядро определено и ограничено в треугольнике

Рис. 1

Уравнение, полученное при интегральной записи задачи Коши, является уравнением Вольтерра второго рода.

В редких случаях удается получить точное аналитическое решение интегрального уравнения. Рассмотрим простейшие способы получения приближенного решения.