Идеи синергетики тесно связаны также с осознанием фрактальностимира - самоподобия присущих ему структур. Фрактальность проявляется и в изломах береговых линий, и в зубцах электрокардиограммы, в формах облаков, в завитках раковин моллюсков и спиралях галактик.
Понятие «фрактал» ввел математик Б. Мандельброт. “Почему геометрию часто называют холодной и сухой? ” -писал он в своей книге “Фрактальная геометрия природы” -Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.”
Фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.
Фрактальные объекты самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их под микроскопом с любым увеличением. Разумеется, в физическом мире нет, пожалуй, ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесчисленное количество раз, и которая выглядела бы при этом неизменной. Однако в приближенном виде принцип самоподобия реализуется в природе в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости, и в иерархической организации живых систем, в эволюции языков и народов Земли, в смене исторических формаций.
Фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Так, например, кучевые облака состоят из огромных “горбов”, на которых возвышаются “горбы” поменьше и т.д. вплоть до самого малого масштаба, который мы способны разрешить.
Одним из классических примеров фрактальных объектов является береговая линия (см. рис. 1.1).
Рис.1.1
Зависимость измеренной длины береговой линии от длины шага d [км] - длины стороны d´d квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте оказалось удобным изобразить в дважды логарифмическом масштабе, т.е. log(L(d) [км]) = f(log(d)[км]).
Рисунок 1.2. - Измеренная длина береговой линии, изображенной на рисунке 1, как функция шага d (км) - длины стороны d квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте.
Как видно из рисунка 1.2 при уменьшении длины шага d измеренная длина отнюдь не стремится к постоянному значению, а возрастает. При этом она прекрасно описывается приближенной формулой
L(d) = a·d 1-D . (1.1)
Для обычной кривой можно было бы ожидать, что a = LN (по крайней мере при достаточно малых d), и показатель D равен единице. Но для береговой линии Норвегии, как видно из графика, D » 1.52. Для береговой линии Великобритании, как оказалось, показатель D » 1.3. Говорят, что береговая линия - это фрактал, или фрактальная кривая. На рисунке 1.3 подобные зависимости приведены для разных побережий.
Мы видим, что для фрактальной кривой длина не является характерной величиной. При уменьшении d она стремится к бесконечности. Площадь также не пригодна для оценки таких кривых, так как для плоской кривой в пространстве она равна нулю.
Понятия “длина”, “площадь”, “объем” связаны с понятием размерности. Так, для кривой размерность D = 1, для плоской фигуры D = 2 и т.д. И нет смысла применять к геометрическому объекту понятие несвойственной ему размерности. Таким образом, мы имеем для кривой, геометрической фигуры, геометрического тела дискретный ряд целочисленных значений, определяющих их топологическуюразмерность: 1, 2, 3. Фракталы как бы “не вписываются” в этот ряд. Они тоже должны иметь свою размерность, но поскольку между 1 и 2 нет промежуточных целых значений, “размерность” фрактальной кривой должна быть дробной. В качестве такой дробной размерности и принят показатель степени D в формуле (1). Таким образом, мы можем сказать, что береговая линия Норвегии - это фрактал с фрактальной размерностью D = 1.52, а береговая линия Великобритании - фрактал с размерностью D = 1.3. Именно отсюда и происходит название “фрактал” (по английски слово FRACTionAL означает “дробный”).
Рис.1.1
