Подпространство. Линейная оболочка системы векторов и ее свойства

Определение. Непустое подмножество V множества называется подпространством арифметического векторного пространства, если оно замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, т.е.

1) ,

2) .

и само , очевидно, являются подпространствами арифметического векторного пространства .

Примеры. Проверьте, являются ли множества и подпространствами .

1) Ø, так как, например, . Проверим, замкнуто ли V относительно сложения векторов. Пусть , т.е. это векторы из такие, что и . Найдем сумму, так как . Таким образом, подмножество V подпространством не является.

2) Ø, так как, например, . Проверим, замкнуто ли U относительно сложения векторов. Пусть , т.е. это векторы из такие, что и . Найдем сумму, так как . Будет ли U замкнуто относительно умножения вектора на число? , так как .

Определение. Линейной оболочкой векторов называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов:

.

Теорема (свойства линейной оболочки).

1) является подпространством .

2) Линейные оболочки эквивалентных систем совпадают.

Доказательство.

1) Ø, т.к. . Покажем, что множество замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на число.

Пусть , т.е. и . Тогда и .

2) Пусть векторы системы линейно выражаются через векторы системы . Покажем, что . Для этого рассмотрим произвольный вектор и покажем, что он принадлежит . Если , то . В свою очередь, каждый вектор линейно выражается через векторы B, поэтому

▄

Аналогично, если векторы системы линейно выражаются через векторы системы , то .

Определение. Говорят, что подпространство V натянуто на векторы , если .

Примеры.

1).

2)Так как всякий вектор можно представить в виде , то , где .

3)Из примера предыдущего параграфа всякий вектор можно представить в виде . Поэтому , где .