Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву:
Пусть функция 
интегрируема на отрезке 
Тогда для любого 
можно вычислить число 
Значит, для каждого определена функция Эту функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1.Если функция интегрируема на отрезке 
то интеграл 
непрерывен на этом отрезке. Еслинепрерывна на отрезкето
дифференцируема на указанном отрезке, причем
Доказательствопервой части этого утверждения опускаем. Перейдем к обоснованию второй части. Пусть 
произвольная точка интервала 
Вычислим
Так как 
непрерывна на отрезке то применима теорема о среднем: существует точка 
такая, что
Тогда 
Устремляя здесь 
и учитывая, что при этом 
т.е. 
Равенство (1) показано в любой внутренней точке отрезка 
Можно показать, что оно верно и на концах этого отрезка. Теорема доказана.
Следствие 1.Любая непрерывная на отрезке 
функция имеет первообразную.
Действительно, в качестве одной из первообразных можно указать интеграл
с переменным верхним пределом (
).
