«Логика – это искусство ошибаться с полной достоверностью»
Джозеф Вуд Кратч (американский писатель и учёный, 1893-1970).
«Логика – это нравственность мысли и речи»
Ян Лукасевич (польский логик и философ, 1878-1956).
1.1. Логика как наука
Познание истины – одна из важнейших потребностей человека. Каждый человек и человечество в целом стремятся к истине, добру и красоте. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой информации о мире, в котором они живут. Для чего? Для того чтобы жить, что в данном случае означает ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения и на их основе совершать правильные действия.
Представьте себе круг вашего знания по логике сегодня, только в начале её изучения. Это знание не велико, и его можно изобразить небольшим кружочком – вот так: . Вне этого кружочка лежит всё то, что вы ещё не знаете. Его граница является границей вашего знания, но одновременно, она является границей вашего незнания.
Сократ знал, конечно же, гораздо больше в этой области знаний, потому, что много размышлял и не боялся высказывать то, о чём он думал.
Круг его знания изобразим в виде большого круга.
Заметим, что граница его незнания существенно больше границы вашего. Теперь вам понятно, почему он воскликнул: «Я знаю, что ничего не знаю!»?
Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, т.е. логические законы. Наука логика помогает познанию этих законов.
Законы развития есть у природы, общества, любой сложной системы и, конечно же, у самого мышления. Существует даже мнение, что всякое движение нашей мысли, постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены всегда следовать этим законам, чтобы жить в обществе, общаться с людьми, понимать их и быть понятыми.
В Древней Греции, Древней Индии, Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяет ораторам убедительно доносить до аудитории их точку зрения.
Мыслить логично значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.
Представьте себе, что вас спросили «Почему днем бывает светло?». А вы ответили: «Потому что днем свет делает день светлым». Вы нарушили правила логики и по сути, ничего не объяснили.
Логика - одна из древнейших наук ее основателем считается Аристотель, который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории «понятие», «суждение», подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
Итак, логика (от греч. logos – слово, понятие, рассуждение, разум) – наука о законах и формах рационального мышления, методах формализации содержательных теорий.
1.2. Этапы развития логики
Первый этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384- 32 2 г. г. до н.э.), основавшего формальную логику.
Второй этап - появление математической и символической логики. Основы ее заложил немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646- 171бг.). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно английский математик Джордж Буль (1815-1864). Буль считался основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, орфографию, грамматику. Поэтому начальный раздел математической логики называется алгеброй логики или Булевой алгеброй. Вклад в развитие логики внесли: Рене Декарт (Франция, 1596-1650), М.В. Ломоносов (Россия, 1711-1765), И. Кант (Германия, 1724-1804), Г. Фреге (Германия, 1848-1925), А.А. Марков (Россия, 1903-1979), Д Гильберт (Германия), А. Тьюринг (Англия), Колмогоров, Новиков (Россия) и многие другие учёные.
1.3. Высказывания
В математике и физике, в биологии и географии, в повседневной жизни мы постоянно встречаемся с различными утверждениями. Рассмотрим несколько утверждений.
1. В каждом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
2. Число 3 является делителем числа 7.
3. Каждый атом водорода содержит ровно один электрон.
4. Все собаки – животные млекопитающие.
5. Нью – Йорк - столица США.
6. Картины Пикассо слишком абстрактны.
7. Число х не превосходит единицы.
Среди этих утверждений есть истинные (1,3,4), есть ложные (2,5). Последние два утверждения нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным.
Утверждение 6 содержит слова «слишком абстрактные», смысл которых точно не определён и без предварительного уточнения этих слов нельзя судить об истинности или ложности этого утверждения. В утверждении 7 ничего не сказано о числе х и поэтому нельзя сказать, истинно оно или ложно.
Всякое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно, мы будем называть высказыванием.
Всякое высказывание, следовательно, либо истинно, либо ложно. Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Утверждения 1 – 5 являются высказываниями, а высказывания 6 – 7 не являются высказываниями.
Не о всяком высказывании можно сразу сказать, истинно оно или ложно. Так обстоит дело, например, с утверждением «7 ноября 2017 года дневная температура воздуха в Москве будет 10 – 15 градусов выше нуля».
Изучением высказываний занимается специальная математическая дисциплина – математическая логика, точнее тот раздел этой науки, который называется алгеброй логики или алгеброй высказываний.
В алгебре высказываний предполагается, что уже имеется некоторый запас высказываний, причём для каждого высказывания уже известно, истинно оно или ложно. Высказывания, входящие в это множество, называются элементарными высказываниями. Каждому такому высказыванию приписано либо значение истины, либо значение лжи.
Обозначать высказывания будем прописными буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать «А=1». Если высказывание А ложное, то будем писать «А=0».
Алгебра логики не занимается обоснованием того, почему тому или другому высказыванию приписано значение истины, а не лжи, или наоборот, и не вступает в дискуссию по этому поводу. Этот вопрос решается вне алгебры логики, за её пределами. Например, истинность или ложность высказывания: «Сумма углов треугольника равна 180 градусов» устанавливается геометрией, причём, в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.
Алгебра логики отвлекается и от смысловой содержательности высказываний, она интересуется только одним свойством высказываний: быть истинным или ложным, находиться в одном и только в одном из двух возможных состояний, в состоянии истины, или в состоянии лжи. Такое сужение интересов и самоограничение оказывается плодотворным: оно даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами, позволяет ввести операции над элементарными высказываниями и с их помощью строить и изучать как угодно сложные составные высказывания. Истинность или ложность сложных высказываний при этом однозначно определяется в зависимости от истинности или ложности составляющих их элементарных высказываний.
Итак, алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
1.4. Логические операции
В алгебре логики над высказываниями можно проводить различные операции.
Логическое отрицание (инверсия) - образуется из высказывания с помощью добавления частицы "не" к сказуемому или с использованием оборота речи «неверно, что…». Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно и ложна, когда высказывание истинно.
Обозначение: ù А, не А.
Пример 1.1. А={город Нью – Йорк – есть столица США}. Отрицанием высказывания А является высказывание = {город Нью – Йорк не является столицей США}.
Логическое умножение или конъюнкция (от латинского conjunctio – «соединение») –образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союзов «и», «а», «но», «хотя». Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Обозначение: А&В, А×В, и т.д.
Пример 1.2. А={Аня ест пирожок}, В={Аня пьет чай}.
Высказывание А В={Аня ест пирожок и пьет чай}, истинно тогда, когда одновременно истинны оба высказывания.
Логическое сложение или дизъюнкция (от латинского disjunctio – «разделение») – образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Обозначение: , А+В, А или В, и т.д.
Пример 1.3. А={Число 2 - чётное}, В={Число 2 - составное}.
Высказывание А В={Число 2 - чётное или составное}, истинно тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Импликация или логическое следование образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то …». Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Обозначение: , А В.
Пример 1.4. А={Число делится на 9}, В={Число делится на 3}. Высказывание ={Если число делится на 9, то оно делится на 3} будет истинным, когда оба высказывания истинны.
Пример 1.5. А={На улице дождь}, В={Асфальт мокрый}. Тогда ={Если на улице идёт дождь, то асфальт мокрый} истинна, если А=1 и В=1, А=0 и В=1, А=0 и В=0.
Эквивалентность или логическое равенство образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …». Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, или оба высказывания ложны.
Обозначение: , А=В.
Пример 1.6. А={Число делится на 9}, В={Число делится на 3}. Высказывание ={число делится на 9 тогда и только тогда, когда оно делится на 3} будет истинным, когда оба высказывания истинны.
Перечислим ещё три не менее важные логические операции.
1. Штрих Шеффера или антиконъюнкция: .
2. Стрелка Пирса или антидизъюнкция: .
3. Кольцевая сумма или логическое сложение по модулю 2: .
Исходя из определений, составим таблицы истинности для всех операций:
