Аксиомы исчисления высказываний

Любая формула исчисления высказываний может рассматриваться как формула алгебры высказываний и, следовательно, можно рассматривать ее логические значения на различных наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных по таблицам истинности.

Поиск алгоритма, определяющего к какому классу принадлежит та или иная формула, формирует проблему разрешимости исчисления высказываний.

Пример: Определить, к какому классу относятся формулы: a) F = ((A®B)&(A®C)®(A®(B&C))

A	B	C	A®B	A®C	B&C	4&5	1®6	7®8

Л	Л	Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	И	И	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	Л	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л	И
И	И	Л	И	Л	Л	Л	Л	И
И	И	И	И	И	И	И	И	И

Формула принадлежит классу тождественно истинных формул (см. столбец 9).

Недостаток использования таблиц истинности состоит в том, что при большом числе пропозициональных переменных сама процедура построения этих таблиц становится громоздкой, так как число строк этой таблицы равно 2n , где n - число пропозициональных переменных формулы, а число столбцов не меньше (n+m), где m – число логических связок в формуле.

Пример: В семье есть договоренность относительно пользования телевизором на субботние вечера: а) если не смотрит отец(ùА), то смотрит дочь (C) и не смотрит мать (ùВ), т.е. F₁=(ùА®C&ù В);

б) если не смотрит дочь (ù C), то смотрит мать (В) и не смотрит отец (ùА), т.е. F₂=(ù C®B&ù A);

в) если смотрит отец (A), то не смотрит дочь (ùC), т.е. F₃=( A®ù C). В каком случае совместимы эти условия?

Формальная запись этого суждения имеет вид:

F=F₁&F₂&F₃=(ùА®C&ùВ)&(ùC®B&ùA)&(A®ùC).

A	B	C	3&ù2	ù1®4	2&ù1	ù3®6	1®ù3	5&7&8

Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	Л	Л	И	И	И	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И	И	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	Л	И	Л
И	Л	И	И	И	Л	И	Л	Л
И	И	Л	Л	И	Л	Л	И	Л
И	И	И	Л	И	Л	И	Л	Л

Анализ таблицы показывает (см. столбец 9), что эти условия совместимы (см. строку 2), когда А=л, В=л и С=и (см. строку 2).

Как уже отмечалось множество формул, удовлетворяющих условиям тождественной истинности, бесконечно. Однако в качестве аксиом всегда выбирают только такие, которые при истинности посылок обеспечивают дедуктивный вывод истинности заключения. При этом стремятся создать такую систему аксиом, которая содержала бы минимальное число формул для заданного набора логических связок. Так известна система, которая для логических связок импликации и отрицания содержит только три аксиомы, а для логических связок импликации и дизъюнкции только пять аксиом. Для полного набора логических связок: импликация, отрицание, конъюнкция и дизъюнкция система содержит десять аксиом. В силу полноты систем, использующих логические связки а) импликации и отрицания, б) импликации и дизъюнкции, в) импликации, отрицания, конъюнкции и дизъюнкции можно использовать в процессе дедуктивного вывода любую из указанных систем.

Ниже приведена одна из систем аксиом:

А1. F₁®(F₂®F₁);

А2. (F₁®F₂)®((F₂®F₃))®(F₁®F₃));

А3. (F₁& F₂)®F₁;

А4. (F₁& F₂)®F₂;

А5. F₁®(F₂®(F₁&F₂));

А6. F₁®(F₁ÚF₂);

А7. F₂®(F₁ÚF₂);

А8. (F₁®F₃)®((F₂®F₃)®((F₁ÚF₂)®F₃));

А9. (F₁®F₂)®(( F₁®ù F₂)®ù F₁);

A10. (F₁®F₂)®((F₁&F₃)®(F₂&F₃));

A11. (F₁® F₂)®((F₁ÚF₃)®(F₂ÚF₃));

А12. ùù F₁ ® F₁.

Для проверки тождественной истинности аксиом рассмотрим таблицы истинности для A2 и A8:

А2. (F₁® F₂)®(( F₁®( F₂® F₃))®( F₁® F₃))

F1	F2	F3	1®2	1®3	2®3	1®6	7®5	4®8

л	л	л	и	и	и	и	и	и
л	л	и	и	и	и	и	и	и
л	и	л	и	и	л	и	и	и
л	и	и	и	и	и	и	и	и
и	л	л	л	л	и	и	л	и
и	л	и	л	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л	и	и
и	и	и	и	и	и	и	и	и

А8. (F₁® F₃)®(( F₂ ® F₃)®(( F₁ Ú F₂)® F₃))

F₁ F₂ F₃ 1Ú 2 1®3 2®3 4®3 6®7 5®8

л л л л и и и и и

л л и л и и и и и

л и л и и л л и и

л и и и и и и и и

и л л и л и л л и

и л и и и и и и и

и и л и л л л и и

и и и и и и и и и