Логика высказываний (prepositional calculus) есть модель формальной системы, предметом которой являются высказывания или повествовательные предложения, взятые целиком без учета их внутренней структуры.
Выделяют несколько типов математических моделей формальной логики. Среди них можно выделить Логику высказываний, Логику предикатов, Логику нечетких множеств и отношений, Реляционную логику и др.
Логика предикатов (predicate calculus) есть модель формальной системы, предметом которой являются повествовательные предложения с учетом их внутренних состава и структуры.
Логика нечетких множеств и отношений (fuzzi calculus) есть модель формальной системы, предметом которой являются повествовательные предложения с учетом их внутренних состава и структуры и при нечетком (размытом) задании характерных признаков отдельных элементов или отношений между ними.
Логика реляционная (relation calculus) есть модель формальной системы, предметом которой являются отношения в виде множества однородных повествовательных предложений, существенно расширяющие логику предикатов.
Исходным понятием математической логики является “высказывание”. Поэтому любое повествовательное предложение, которое может быть признано истинным или ложным, называют высказыванием. Логическим значением высказывания являются “истина” или “ложь”.
Например, повествовательное предложение "З есть простое число" является истинным, а “3.14… - рациональное число" - ложным, "Колумб открыл Америку" - истинным, а "Киев - столица Узбекистана" – ложным, “Число 6 делится на 2 и на 3” – истинным, а “Сумма чисел 2 и 3 равна 6” – ложным и т.п.
Такие высказывания называют простыми или элементарными. При формальном исследовании сложных текстов вместо понятие “простые высказывания” замещают понятием “пропозициональные переменные” (от лат. propositio - предложение), которые обозначают прописными буквами латинского алфавита “A”, “B”, “C”,… Истинность или ложность высказывания будем отмечать символами “и” – истина или “л” – ложь.
Пример:
1) если A1:=“3 - простое число”, то A1 = и;
2) если A2:=“3 - вещественное число”, то A2 = и;
3) если A3:=“3 - целое число”, то A3 = и;
4) если B1:=“3, 14…- рациональное число”, то B1 = л;
5) если B2:=“3, 14…- не рациональное число”, то B2 = и;
6) если C:=“Колумб открыл Америку”, то C = и;
7) если D:=“Киев - столица Узбекистана”, то D = л;
8) если E:= “Число 6 делится на 1, 2 и 3”, то E = и;
9) если G:=“Число 6 есть сумма чисел 1, 2, 3”, то G = и.
Примечание: символ :=” означает, что пропозициональной переменной, стоящей слева, присвоить значение высказывания, стоящего справа от символа.
Высказывания, которые получаются из простых предложений с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “… тогда и только тогда, когда…” и т.п., называют сложными или составными. Для обозначения грамматических связок вводят символы, которые называют логическими (или пропозициональными) связками. Например, Ú:=”или”, &:=“и”, ù :=”не”, ®:=“если…, то…”, «:=“…тогда и только тогда, когда …”.
Для построения сложных пропозициональных высказываний используют вспомогательные символы “(“, “)” - скобки.
Пример:
1) если высказывание “3 – вещественное или целое число”, то формула (A1ÚA2) = и;
2) если высказывание ”3,14… - рациональное число”, то формулы B1=л или ù B1 = и;
3) если высказывание “число 6 делится на 1, 2, 3 и представляет сумму делителей 1, 2, 3”, то формула (E&G)= и;
4) если высказывание “если 3 - целое число, то оно вещественное”, то формула (A3® A2)=и;
5) если высказывание ”если 3 – простое число ,то оно целое”, то формула (A1® A3)=и;
6) если высказывание “3 есть простое число тогда и только тогда, когда оно целое”, то формула (А1«А2)=и.
Правила построения сложных высказываний в виде последовательности пропозициональных переменных, логических связок и вспомогательных символов определяют возможность формального описания любого текста.
