Отрицание Лукасевича

Трехзначная система Лукасевнча

Трехзначная пропозициональная логика (логика высказыва­ний) была построена в 1920 г. польским математиком и логи­ком Я. Лукасевичем (1878-1956)'. В ней “истина” обозначает­ся 1, “ложь” - 0, “нейтрально” - ¹/_2. В качестве основных функ­ций взяты отрицание (Nx) и импликация (Сху); производными являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются мат­рицами (таблицами) так:

[Nx] =1-[x]

'См.: Lukasiewicz J. О pojeciu mozliewosci //Buch Filozoficzny. Lwow. 1920. Vol. 5. № 9.

Конъюнкция определяется как минимум значений аргумен­тов: [Кху] = min ( [х],[у]); дизъюнкция - как максимум значений х и у[Аху]=таx ([х],[у]).

Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выражен­ной в форме х → у, происходит так. Слева в первой колонке на­писаны значений длях, а сверху - значения для у. Возьмем, напри­мер [х] = ¹/₂ (т. е. значение для х, равное ¹/₂ ), а [у] = 0, получаем импликацию ¹/₂→ 0. На пересечении получаем результат ¹/₂ .

Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы a , то таблица истинности для этой форму­лы, включающая все возможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из 3' = 3 строки; при двух переменных в таблице будет 3² = 9 строк; при трех переменных в таблицеимеем З³ = 27 строк; при n переменных будет 3ⁿ строк.

Покажем, как происходит доказательство для формул a (закон исключенного третьего) и для ( закон непротиворе­чия), содержащих одну переменную, т. е. а. В таблице будет всего 3' = 3 строки.

Для доказательства формулы a используем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, со­ответствующей a, видим, что вместе со значениями 1 есть значение ¹/₂ . Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула также не является законом логики.

Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х → ( ^ у)) → , содержащая две переменные х и у В таблице будет З² = 9 строк. Распределение значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках.

Вывод: так как в последней колонке встречается два раза зна­чение неопределенности (т. е. ¹/₂), то данная формула не является законом логики.

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъ­юнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) за­кон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отри­цания законов непротиворечия и исключенного третьего дву­значной логики. Поэтому логика Лукасевича не является отрица­нием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются: правило снятия двойного отрицания, все четыре пра­вила де Моргана и правило контрапозиции: а → b → . Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики; (х → ) → и (х→ ( ^ у)) → (т. е. если из х вы­текает противоречие, то из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).