Конструктивная логика А. А. Маркова

Проблема конструктивного понимания логических связок, в частности отрицания и импликации, требует применения в ло­гике специальных точных формальных языков. В основе конст­руктивной математической логики А. А. Маркова (1903-1979) лежит идея ступенчатого построения формальных языков. Сна­чала вводится формальный язык Я₀, в котором предложения вы­ражаются по определенным правилам в виде формул; в нем име­ется определение смысла выражения этого языка, т. е. семантика. Правила вывода позволяют, исходя из верных предложений, все­гда получать верные предложения.

В конструктивной математике формулируются теоремы существования, утверждающие, что существует объект, удовле­творяющий таким-то требованиям. Под этим подразумевается, что построение такого объекта потенциально осуществимо, т. е. что мы владеем способом его построения. Это конструктивное понимание высказываний о существовании отличается от клас­сического. В конструктивной математике и логике иной является и трактовка дизъюнкции, которая понимается как осуществи­мость указания ее верного члена. “Осуществимость” означает

потенциальную осуществимость конструктивного процесса, да­ющего в результате один из членов дизъюнкции, который должен быть истинным. Классическое же понимание дизъюнкции не предполагает нахождения ее истинного члена.

Новое понимание логических связок требует новой логики. Мы считаем утверждение А. А. Маркова о неединственности логики верным и весьма глубоким: “В самой идее неединственности логики, разумеется, нет ничего удивительного. В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рас­суждали, должны управляться одними и теми же законами? Для этого нет никаких оснований. Удивительным, наоборот, было бы, если бы логика была единственна”'.

В конструктивную математическую логику А. А. Марков вво­дит понятие “разрешимое высказывание” и связанное с ним по­нятие “прямое отрицание”. В логике А. А. Маркова имеетсяи другой вид отрицания - усиленное отрицание, относящееся к так называемым полуразрешимым высказываниям.

Кроме материальной и усиленной импликации, при становле­нии истинности которых приходится заботиться об истинности посылки и заключения, А. А. Марков вводит дедуктивную имп­ликацию, определяемую по другому принципу. Дедуктивнаяимпликация “если А, то В” выражает возможность выведения В из А по фиксированным правилам, каждое из которых в применении к верным формулам дает верные формулы. Всякое высказывание, выводимое из истинного высказывания, будет истинным. ^:

Через дедуктивную импликацию А. А. Марков определяет редукционное отрицание (reductio ad absurdum). Редукционное отрицание высказывания А (сформулированного в данном языке) понимается как дедуктивная импликация “если А, то Л”, где через Л обозначен абсурд. Это определение отрицания соответству­ет обычной практике рассуждений математика: математик отрицает то, что можно привести к абсурду. Для установление истинности редукционного отрицания высказывания не требуется вникать в его смысл. Высказывание, для которого установлена истинность редукционного отрицания, не может быть истинным.

——————

'Марков А.А. О логике конструктивнойматематики. //Вестник МГУ. Серия “Математика, механика”. 1970. №2. С. 13.

Эти три различных понимания отрицания не вступают в конф­ликт друг с другом, они согласованы, что, по мнению А.А. Марко­ва, даст возможность объединить все эти понимания отрицания.

Показательно такое обстоятельство. А. А. Марков строит свои конструктивные логические системы для обоснования конструктивной математики таким образом, что у него получается не одна за­конченная система, а целая иерархия систем. Это система языков Я₀, Я₁, Я₂, Я₃,, Я₄ , Я₅,..., Я_n (где п - натуральное число) и объемлю­щего их языка Я_w; после Я_w строится язык Я_w '.

Итак, мы склонны думать, что развивающуюся конструктивную логику и математику невозможно вместить в одно формальное ис­числение, для этого нужна система, состоящая из целой иерархии систем, в которой будет иерархия отрицаний.

Проблемами конструктивной логики и теории алгоритмов за­нимается также математик Н. М. Нагорный.

§ 5. Многозначные логики

В многозначных логиках число значений истинности аргу­ментов и функций для высказываний может быть любым конеч­ным (больше двух) и даже бесконечным. В настоящем параграфе используются так называемая польская запись, которую приме­нял Лукасевич, и обычная, применяемая в двузначной логике: от­рицание обозначается через Nx или , конъюнкция - через Кху или х v у, нестрогая дизъюнкция - через Аху или х v у, матери­альная импликация - через Сху или х→ у. Значение функции от аргумента а записывается так: [а]. Тавтологией (или общезначи­мой, или законом логики, или тождественно-истинной) называется формула, которая при любых комбинациях значений входя­щих в нее переменных принимает выделенное (или отмеченное) значение; как правило, это значение “истина” (чаще всего в рас­сматриваемых системах “истина” обозначается цифрой 1).

Развитие многозначных логик подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относитель­ном характере конкретно-научных знаний: то, что является тождественно-истинным в одной логической системе, не ока­зывается тождественно-истинным в другой.

________________

'См.: Доклады АН СССР. 1974. Т. 214, № 1-6; Т. 215, № 1.