Решение.

Записать формулами следующие высказывания.

1. Если верно, что, когда идет дождь, дороги мокрые, то также верно, что если дороги сухие, то дождя нет.

2. Он сказал, что придет, если будет хорошая погода.

3. Если будет сильный ветер, мы не пойдем на каток, а отправимся в музей.

4. Петров поедет либо в Москву, либо в Кострому, но не в оба города.

5. Если допоздна работать с компьютером и при этом пить много кофе, то утром просыпаешься в дурном расположении духа или с головной болью.

6. Он счастлив, если управляет автомобилем. Он счастлив, только если управляет автомобилем. Он счастлив тогда и только тогда, когда управляет автомобилем.

1. Положим «идет дождь»; «дороги мокрые».

Тогда . В самом деле, импликация выражает высказывание «если идет дождь, то дороги мокрые»; импликация соответствует высказыванию «если дороги сухие, дождя нет» Эти импликации − посылка и заключение импликации высказывания 1.

А теперь преобразуем формулу, используя известные равносильности.

.

Формула − это тавтология, тождественно истинная формула.

Составим также и таблицу истинности формулы (табл. 1).

Таблица 1

Если не раскрывать содержание высказываний и , то прочитать формулу можно так: «если верно, что из истинности следует истинность , то также верно, что из ложности следует ложность ». Мы показали, что такая формула остается логически истинной, если заменить в ней буквы и любыми высказываниями.

2. Пусть «он придет»; «будет хорошая погода». Тогда .

3. Обозначим: «будет сильный ветер»; «мы пойдем на каток»; «мы отправимся в музей». Данное высказывание записывается формулой . Знак конъюнкции не указан из соображений лучшего чтения формулы.

4. Если «Петров поедет в Москву»; «Петров поедет в Кострому», то данное утверждение передается формулой , ведь поездки взаимно исключают друг друга.

5. В этом примере обе возможности (как проснуться в дурном расположении духа, так и проснуться с головной болью) совместимы, к сожалению. Тогда если «мне пришлось допоздна работать с компьютером», «я проснулся утром в дурном расположении духа»; «я проснулся утром с головной болью», то .

6. Пусть «он счастлив»; «он управляет автомобилем». В этом примере сформулированы три утверждения, выражающие соответственно достаточные, необходимые, необходимые и достаточные условия истинности некоторого события. Рассмотрим каждое из них.

В утверждении «он счастлив, если управляет автомобилем» сформулированы достаточные условия счастья этого человека. Если он управляет автомобилем, он наверняка счастлив, что не исключает возможности ему быть счастливым не только за рулем. Первое утверждение записывается формулой . Преобразуем импликацию в равносильную формулу. . Итак, если он несчастлив, он наверняка не управляет автомобилем.

Высказывание «он счастлив, только если управляет автомобилем», означает необходимые условия счастья. Если этот человек счастлив, он, безусловно, за рулем. В ином состоянии он всегда несчастлив. Кроме того, управление автомобилем еще не гарантирует счастье, все может быть. Поэтому данное высказывание записывается формулой .

Наконец, в последнем высказывании сформулированы необходимые и достаточные условия его счастья. Он счастлив, если и только если управляет автомобилем. Следовательно, нужно записать формулу .