Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Теорема.Пусть собственные значения оператора различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы.

Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов. Для одного собственного вектора утверждение теоремы очевидно. Предположим, что утверждение теоремы верно для векторов . Добавим к этим векторам еще один вектор . Предположим, что эта система из векторов линейно зависима, т.е. существуют числа , одновременно не равные нулю, такие, что

. (*)

Применим к обеим частям равенства оператор :

.

Так как векторы - собственные, отвечающие различным собственным значениям , то:

. (**)

Вычтем из равенства (**) равенство (*), умноженное на :

.

Так как все числа различны, то из линейной независимости векторов следует равенство нулю коэффициентов . Но тогда из равенства (*) следует, что . Это означает, что векторы линейно независимы. Теорема доказана.

Следствие.Если характеристический многочлен линейного оператора имеет различных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

Действительно, если характеристический многочлен оператора имеет ровно различных корней, то оператор имеет различных собственных значений. Этим собственным значениям соответствуют собственных векторов, причем они линейно независимы. Возьмем их в качестве базисных. Очевидно, в таком базисе матрица оператора будет диагональной, и на диагонали будут стоять собственные значения оператора.