Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

14.1. Инвариантные подпространства.Пусть - конечномерное линейное пространство,

Определение.Подпространство называется инвариантнымотносительно , если (можно записать ).

Нулевое подпространство и все пространство являются тривиальными примерами инвариантных подпространств.

Примеры. 1). Рассмотрим гомотетию с коэффициентом : . В этом случае образ любого вектора коллинеарен самому вектору и поэтому любое подпространство является инвариантным.

2). Выберем ось в пространстве. Пусть - оператор поворота вокруг оси на угол . В этом примере есть два нетривиальных инвариантных подпространства. Во-первых, векторы, параллельные оси , остаются неподвижными. Следовательно, одномерное подпространство этих векторов является инвариантным. Во-вторых, множество векторов, перпендикулярных оси , образуют двумерные инвариантное подпространство.

Предложение.Пусть . Тогда и являются инвариантными относительно .

Доказательство. Пусть , тогда . Пусть , тогда .

14.2. Собственные векторы и собственные значения оператора.Попробуем решить задачу нахождения одномерных подпространств, инвариантных относительно оператора .

Определение.Пусть - вещественное (комплексное) линейное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора , если

для некоторого . При этом число называется собственным значением оператора .

Обозначим множество всех векторов из , для которых выполняется равенство . Заметим, что если и , то

.

Легко видеть, что является инвариантным подпространством, его ненулевые векторы являются собственными, отвечающими собственному значению .

Если вектор является собственным, отвечающим собственному значению , то выполняется равенство , откуда . Это означает, что ядро оператора нетривиально, следовательно, равен 0 определитель этого оператора. Зафиксируем базис пространства. Если в этом базисе матрица оператора равна

,

то равенство нулю определителя оператора запишется в виде:

.

Представив определитель как сумму произведений элементов матрицы (по определению), мы получим равенство, в левой части которого стоит многочлен степени от :

.

Определение.Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы .

Теорема 1.Пусть и пусть - матрица этого оператора в фиксированном базисе. Корни характеристического многочлена и только они являются собственными числами оператора .

Доказательство фактически повторяет предыдущие рассуждения.

Если найдено собственное значение оператора , остается найти множество собственных векторов, отвечающих этому собственному значению. Для этого нужно решить систему линейных уравнений . Поскольку определитель матрицы этой системы равен 0, система имеет нетривиальное решение. Множество ее решений и есть искомое множество векторов (пространство ).

Следует только сделать замечание о существовании этих корней. Если пространство комплексное, то по основной теореме алгебры любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень. Отсюда следует, что в комплексном пространстве любой оператор обладает хотя бы одним собственным значением, а значит, и собственным вектором. Если же пространство вещественное, то характеристический многочлен может и не иметь вещественных корней. Примером оператора, не имеющего собственных значений и собственных векторов, является оператор поворота на плоскости на угол, отличный от .

Задача.Докажите, что в вещественном пространстве нечетной размерности любой оператор обладает хотя бы одним собственным значением (и собственным вектором).

14.3. Инвариантность характеристического многочлена.Заметим, что собственный вектор оператора (и его собственные значения) определяется независимо от какого-либо базиса. С другой стороны, собственные значения оператора являются корнями характеристического многочлена матрицы линейного оператора в некотором базисе, а значит, казалось бы, зависят от выбора базиса. На самом деле никакой зависимости собственных значений и собственных векторов от выбора базиса нет, о чем говорит следующая теорема.

Теорема 2.Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса, т.е. является инвариантом линейного оператора.

Доказательство. Пусть в некотором базисе линейный оператор имеет матрицу . Возьмем другой базис, переход к которому осуществляется с помощью матрицы перехода . В этом новом базисе оператор имеет другую матрицу , которая связана с матрицей по формуле . Вычислим характеристический многочлен матрицы :

Теорема доказана.

Поскольку характеристический многочлен оператора инвариантен, то все его коэффициенты являются инвариантами. В частности, такой инвариант, как определитель матрицы оператора, является одним из коэффициентов характеристического многочлена, а именно, свободным членом. Действительно, - это значение характеристического многочлена при .