Вычисление кратных интегралов

Метод Монте-Карло для вычисления одномерных ин­тегралов обычно не применяется, так как для получения высокой точности более удобны квадратурные формулы. Этот метод оказывается более эффективным при вычис­лении кратных интегралов, когда кубатурные формулы для достижения малой погрешности слишком громоздки и требуют большого объема вычислений.

При использовании квадратурных или кубатурных формул, число операций быстро возрастает с ростом раз­мерности интеграла. Например, если для вычисления од­номерного интеграла методом трапеций с заданной точностью необходимо вычислить сумму порядка N слагаемых, то для вычисления двойного интеграла тем же методом необходимо сложить порядка N² слагаемых, а для тройно­го интеграла число слагаемых составляет порядка N³.

Число испытаний N, требующихся для достижения заданной точности ε приближенного значения, в методе Монте-Карло есть величина порядка и не зависит от размерности интеграла.

Применяется следующий критерий выбора между кубатурной форму­лой р-го порядка точности и методом Монте-Карло для вычисления с точностью ε кратного интеграла функции m переменных:

1) если число измерений m < 2р, лучше использовать кубатурные или квадратурные формулы;

2) если m > 2р – ме­тод Монте-Карло.

Например, если р = 1, тройные интегралы выгоднее вычислять методом Монте-Карло, а одномерные – квад­ратурными формулами.

Если р = 2, лучше вычислять методом Монте-Карло пя­тимерные интегралы, а одномерные, двойные и трой­ные – квадратурными или кубатурными формулами.

Рассмотрим конкретные формулы метода Монте-Кар­ло для вычисления кратных интегралов, получающиеся способом, который применялся для вывода формулы (9.7).

Пусть требуется вычислить двойной интеграл

. (9.9)

Проведем серию из N испытаний случайной точки (x_i, y_i), где x_i равномерно распределены на отрезке [a, b], a y_i равномерно распределены на отрезке [с, d]. Вычислим интеграл (9.9) по формуле

= (9.10)

Для тройного интеграла аналогично получим формулу

= (9.11)

где x_i равномерно распределены на отрезке [a, b], y_i – на отрезке [с, d], a z_i – на отрезке [р, q]; N – число испы­таний.

Для m-кратного интеграла формула метода Монте-Карло имеет вид

. (9.12)