Уравнения в частных производных

Раздел № 8

Уравнение

F(х₁, х₂,..., х_m, u, ,..., , , ,...) = 0,

связывающее неизвестную функцию u(х₁, х₂,..., х_m), независимые переменные х₁, х₂,..., х_m и частные производные неизвестной функции, называется уравнением в частных производных. Порядок п старшей производной называется порядком дифференциального уравнения.

Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её частных производных.

Приведем основные уравнения математической физики, которые являются линейными уравнениями в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение (уравнение колебаний)

(8.1)

описывает различные виды волн – звуковые, упругие, электромагнитные и другие колебательные процессы. Функция u = u(х, у, z, t) зависит от пространственных переменных х, у, z и времени t.

2. Процесс распространения тепла в однородном изотропном теле

описывается уравнением теплопроводности

(8.2)

Уравнение теплопроводности в общем виде записывается так:

c(х, у, z, t) = div[k(u, х, у, z, t) grad u] + q(х, у, z, t),

grad u =,

div(X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z)) =

Здесь u = u(х, у, z, t) – температура в точке (х, у, z) в момент времени t,

c(u, х, у, z, t) – теплоемкость в точке (х, у, z) в момент времени t, k(u, х, у, z, t) – коэффициент теплопроводности в точке (х, у, z) в момент времени t,

q(u, х, у, z, t) – плотность источников тепла.

3. Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле

описывается уравнением Пуассона

= -f(x, y, z). (8.3)

Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле при отсутствии источников тепла внутри тела описывается уравнением Лапласа

= 0. (8.4)

В уравнениях (8.3) и (8.4) функция u = и(х, у, z) зависит только от пространственных переменных х, у, z.

Согласно классификации уравнений второго порядка уравнение (8.1) относится к гиперболическому типу, (8.2) – к параболическому типу, а (8.3), (8.4) – к эллиптическому типу.

В конкретной постановке задачи математической физики необходимо найти решение одного из уравнений (8.1) – (8.4), удовлетворяющее дополнительным (начальным и граничным) условиям.

Начальные условия задаются с уравнениями (8.1), (8.2) и обычно имеют вид

u(x, y, z, t₀) = u₀(x, y, z), (8.5)

= u₁(x, y, z). (8.6)

При этом для уравнения (8.1) искомое решение u = u(х, у, z, t) должно удовлетворять в начальный момент времени t₀ условиям (8.5) и (8.6), а для уравнения (8.2) – одному из условий (8.5), (8.6).

Граничные условия для уравнений (8.1), (8.2): искомое решение

u = u(х, у, z, t) должно удовлетворять на границе тела (или среды) одному из условий

, (8.7)

, (8.8)

где – производная по направлению нормали к границе G тела.

Для уравнений Пуассона или Лапласа задаются только граничные условия

(8.9)

или

(8.10)

Задача для уравнения Лапласа (8.5) с граничным условием (8.9) называется задачей Дирихле, а с условием (8.10) – задачей Неймана.

Область Ω, описывающая тело, может быть задана в трехмерном, двумерном или одномерном пространствах. В первом случае функция u = u(х, у, z, t) зависит от трех пространственных переменных (х, у, z) и времени t, во втором – от двух пространственных переменных (х, у) и времени t: u = u(х, у, t), а в третьем случае – от переменных х и t: и = и(х, t).

Рассмотрим разностный метод решения задач для уравнений в частных производных, который описывается ниже на примерах основных задач математической физики.

8.1. Разностный метод для уравнения колебаний