Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Примерами краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений являются следующие:

1) Найти функцию u(х), которая удовлетворяет на отрезке [а, b] уравнению

u"(х) = -f(х), (7.27)

а на концах отрезка условиям

u(а) = u (b) = 0. (7.28)

Задача (7.27), (7.28) имеет следующее физическое содержание. Между точками х = а и х = b натянута упругая струна, находящаяся под действием внешней изгибающей нагрузки. f(x) - величина нагрузки, а u(х) - прогиб струны в безразмерных единицах.

2) Двухточечная краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка:

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x), (7.29)

α₀u(a) + α₁u'(a) = A,

β₀u(b) + β₁u'(b) = B. (7.30)

а) Метод прогонки

Рассмотрим частный случай задачи (7.29), (7.30):

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x), (7.31)

u(0) = а, u(Х) = b. (7.32)

Введем сетку x_i = ih, i = 1, 2, ... , N; h = X/N. Обозначим через u_i приближенные значения u(x) в узлах сетки. Рассмотрим уравнение (7.31) во внутренних узлах х_i i = 1, 2,..., N - 1и заменим производную второго порядка разностной формулой (5.11)

(7.33)

Тогда из (7.31), (7.32) получим для определения u_i систему линейных уравнений

(7.34)

Система (7.34) при р(x) ≥ 0 имеет решение. Система (7.34) представляет собой систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей

(7.35)

и для ее решения применим метод прогонки, который фактически является методом исключения неизвестных Гаусса.

1. Прямой ход прогонки. Запишем первое уравнение (7.35) в виде

. (7.36)

Подставив (7.36) во второе уравнение (7.35) и упростив выражения, увидим, что можно для u_i получить формулы

(7.37)

Из уравнения (7.35), учитывая (7.37) при i = N - 2, получим

(7.38)

2. Обратный ход прогонки. После вычисления прогоночных коэффициентов можно найти значения решения задачи. Формула (7.38) дает значение

u_N _- ₁:

u_N _- ₁ = β_N _{- 1}(7.39)

Остальные значения вычисляем в обратном порядке:

(7.40)

б) Метод стрельбы (пристрелки)

Рассмотрим метод пристрелки на примере решения линейной краевой задачи (7.31), (7.32):

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x),

u(0) = а, u(Х) = b.

Если известны частное решение u(х) неоднородного уравнения

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x),

и два линейно независимых решения и₁(х), u₂(х) однородного уравнения

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0,

то общее решение неоднородного дифференциального уравнения

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x),

можно записать в виде

u(x) + С₁u₁(х) + C₂u₂(x).

Постоянные С₁, С₂ можно определить из краевых условий (7.32).

В методе пристрелки используется следующий способ.

Сначала находят частное решение u(х) неоднородного уравнения

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x),

удовлетворяющее условию u(0) = а, и частное решение u₁(х) однородного уравнения

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0,

удовлетворяющее условию u(0) = 0.

Затем общее решение u(х) неоднородного уравнения

u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = f(x),

удовлетворяющее условию u(0) = а, записывают в виде u(х) + Сu₁(х). Остается найти постоянную С₁ из условия u(x) + Cu₁(x) = b.

Приведем сеточный аналог метода пристрелки. Пусть краевая задача приведена к системе уравнений (7.34)

(7.41)

Найдем частные решения неоднородной (7.42) и однородной (7.43) систем уравнений:

(7.42)

(7.43)

Выбирая произвольные значения для (при этом должно быть ), находим из (7.42) и (7.43) формулы для вычисления частных решений:

(7.44)

(7.45)

Найдем С из условия и запишем решение:

(7.46)

(7.47)

Алгоритм метода пристрелки заключается в том, чтобы выбрать шаг h и выполнить последовательно вычисления по формулам (7.44) - (7.47).