Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Не ограничивая общности, будем считать, что отрезок интегрирования , , , . Будем строить квадратурную формулу вида: (8).

Квадратурную формулу Гаусса будем строить исходя из алгоритма, вытекающего из теорем 1 – 3. В соответствии с первым пунктом надо построить алгебраический многочлен ортогональный с весом на многочлену степени .

Условие (4) .

С этой целью введём обозначение:

(9).

Сразу заметим, что (10).

(11).

Если мы построим и продифференцируем её раз, то получим .

Будем вычислять с помощью формулы интегрирования по частям: .

(12).

Потребуем, чтоб выполнялось условие ортогональности (4), то есть правая часть равенства (12) обращалась в ноль. Заметим, что при правая часть равна нулю в силу равенства (10). В силу произвольности многочлена , правая часть равенства (12) при обязана быть равна нулю. То есть (13).

Определение.Точка называется корнем функции кратности , если сама функция в этой точке равна нулю , а так же и , а . Поэтому, из этого определения из формул (10), (11) и (13) следует, что в точках и функция , обладает корнями кратности .

Поскольку сама функция является алгебраическим многочленом степени , его можно представить в виде: , где подлежащая определению.

Из формулы (11) следует, что (14).

Константу найдём из требования, чтоб коэффициент при старшей степени многочлена был равен единице (смотри формулу (5)). Коэффициент при старшей степени в правой части формулы (14) равен: , подставляя в (14) находим:

(15).

Искомый многочлен носит название многочлена Лежандра -й степени на отрезке .

Корни этого многочлена на основании теоремы 3. В силу того, что весовая функция , то все корни многочлена Лежандра (15) вещественны, различны и лежат внутри отрезка , поэтому найденные любыми известными методами, например, методом половинного деления, МПИ, методом хорд, методом касательных, эти корни могут быть взяты в качестве узлов квадратурной формулы (8).

Коэффициенты квадратурной формулы (8) по известным узлам можно вычислить с помощью формулы (3): , (16).

Таким образом имеем: (17) – квадратурная формула Гаусса на , где вычисляются по формуле (16), а - корни многочлена Лежандра. Алгебраическая степень точности данной квадратурной формулы равна . Остаточный член формулы (17) получается как частный случай формулы (6), в которой в качестве веса , а и в качестве многочлена выступает многочлен Лежандра.

Замечание 1.Из формул для нахождения узлов и коэффициентов формулы Гаусса видно, что они не зависят от подынтегральной функции и от отрезка интегрирования. То есть узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса заранее вычислены и при небольших приведены в специальной литературе.

Замечание 2.Квадратурная формула Гаусса на произвольном отрезке имеет вид:

(18), где

, вычисляются по формуле (16), а - корни многочлена Лежандра -й степени на отрезке .

Смысл введения весовой функции

Пусть требуется вычислить (1).

при численном интегрировании чаще всего подынтегральная функция заменяется алгебраическим многочленом (в частности интерполяционным). Для того чтоб такая замена имела хорошую точность, функция должна обладать высокой степенью гладкости (должна обладать достаточным количеством непрерывных производных), если же имеет особенности на (разрывы, обращается в бесконечность в одной или нескольких точках отрезка), то применение квадратурной формулы вида будет давать большую погрешность, поскольку такие функции плохо приближаются алгебраическими многочленами.

Для избегания больших погрешностей исходную функцию представляют в виде: , где содержит все особенности функции , называется весовой функцией, а является гладкой. И тогда применение к интегралу (1) квадратурной формулы не даёт такую большую погрешность.

Описанный метод называется методом выделения особенностей.

Пример.Пусть надо вычислить интеграл , где имеет особенности в точках и . Представим в следующем виде: , где - весовая функция, . Тогда .

{ Самостоятельно законспектировать тему: «Приближённое вычисление кратных интегралов»}

Постановка задачи

Пусть задано нелинейное уравнение (1), где - функция определённая и непрерывная на некотором конечном или бесконечном интервале . Если , где - комплексные коэффициенты, причём , то уравнение (1) называется алгебраическим уравнением -й степени.

Во всех остальных случаях, когда не полином, уравнение (1) называется трансцендентным.

Определение. Всякое значение обращающее функцию в ноль, то есть такое, что называется нулём функции или корнем уравнения (1).

Корень называется изолированным корнем уравнения (1), если существует окрестность корня не содержащая других корней уравнения (1).

В дальнейшем будем считать все корни уравнения (1) изолированными.

Если уравнение (1) алгебраическое или трансцендентное имеет достаточно сложный вид, то его сравнительно редко удаётся решить точно, поэтому важное значение принимают приближённые методы решения уравнения (1), а также оценка степени их точности.

Приближенное нахождение корней нелинейного уравнения (1) разбивается на два этапа:

1) отделение корней, то есть установление по возможности тесных промежутков содержащих один и только один корень уравнения (1);

2) уточнение корней – доведение их до нужной степени точности.

Методы отделения корней

Методы отделения корней делятся на две группы:

1) аналитические;

2) графические.

Графические методы отделения корней

1) Известно, что действительные корни уравнения геометрически являются абсциссой точек пересечения графика функций с осью , то есть те значения при которых обращается в ноль.

Если уравнение (1) не содержит близких между собой корней, то таким образом они легко отделяются.

2) Если функция сложная, но представима в виде разности: , где и более простые, чем , то тогда на практике бывает выгодно уравнение заменить на эквивалентное (два уравнения называются эквивалентными, если имеют одинаковые корни). Тогда корни уравнения получаются как абсциссы точек пересечения графиков функций и .

Заметим, что, несмотря на свою простоту, графические методы пригодны лишь для грубого отделения корней.

Аналитические методы отделения корней

1) Первый из методов основан на применении известной теоремы математического анализа, теоремы Больцано-Коши: если непрерывная функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, то есть , то на отрезке содержится по меньшей мере один действительный корень уравнения .

Замечание. Корень уравнения (1) заведомо будет единственным на , если монотонна на этом отрезке, либо же производная существует и сохраняет постоянный знак на .

Если заранее известно количество действительных корней уравнения (1), то на практике часто бывает достаточно провести процесс половинного деления для аналитического отделения корней данного уравнения (1). С этой целью отрезок разбивают последовательно на частей и определяют знаки функции в точках деления. Если для функции будет получено ровно перемен знака, то таким образом все корни будут отделены.

В данном случае получили 7 перемен знака, таким образом все корни отделены.

Пусть уравнение (1) является алгебраическим уравнением -й степени, то есть , (2).

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Алгебраическое уравнение -й степени имеет ровно корней, действительных или комплексных, причём каждый корень считается столько раз какова его кратность.

Теорема 1. Если все коэффициенты уравнения (2) вещественные числа, то комплексные корни такого уравнения будут попарно комплексно-сопряжённые, то есть если - корень уравнения (2) кратности , то так же является корнем уравнения (2) той же кратности .

Следствие. Алгебраическое уравнение (2) нечётной степени с действительными коэффициентами имеет, по меньшей мере, один действительный корень.

Дадим оценку модулей всех корней уравнения (2), то есть укажем границы нахождения корней этого уравнения.

Теорема 2. Пусть , , где - коэффициенты уравнения (2), тогда для абсолютных значений корней уравнения (2) имеет место следующая оценка: .

Замечание. Из теоремы 2 следует, что все корни уравнения (2) расположены в круге радиуса . Действительные корни расположении на оси абсцисс в интервале .

Если известны границы интервала, содержащие все действительные корни уравнения (2), то естественно возникает вопрос об их количестве. Ответ на этот вопрос даёт теорема Штурма.

2) Пусть задано нелинейное алгебраическое уравнение вида (2). Системой Штурма полинома -й степени называется следующая совокупность функций , где сам полином, , представляет собой взятый с обратным знаком остаток от деления на , представляет собой взятый с обратным знаком остаток от деления на и т.д., представляет собой взятый с обратным знаком остаток от деления на .

Замечание. Если полином не имеет кратных корней, то и последняя функция Штурма действительная ненулевая константа, кроме того полиномы из системы Штурма можно находить с точностью до положительного множителя.

Далее обозначим через количество перемен знака в системе многочленов Штурма при , при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.

					…
	+		-	+	-	+

Теорема Штурма. Если полином -й степени, не имеющий кратных корней на интервале и , , то количество действительных корней уравнения в точности равно количеству перемен знаков в системе Штурма полинома при переходе из точки в точку , то есть .

Замечание. При помощи теоремы Штурма можно с успехом отделять действительные корни алгебраического уравнения (2), разбивая исходный интервал на достаточно тесные промежутки такие, что .

Методы уточнения корней

Для уточнения корней нелинейного уравнения (1) на интервале, содержащем единственный корень данного уравнения, используются, как правило, итерационные методы:

1) метод половинного деления;

2) метод простой итерации;

3) метод касательных;

4) метод хорд.

Основная идея всех итерационных методов состоит в том, что исходя из некоторого начального приближения строиться последовательность приближений при определённых условиях сходящаяся к корню данного уравнения.

В силу указанной сходимости процесс построения приближения можно прервать на некотором шаге с достаточно большим номером итерации и объявить последнее из построенных приближений приближённым решением данного уравнения.

Определение. Величина называется погрешностью итерационного метода на -й итерации, где

Определение. Величина называется невязкой уравнения (1) на приближенном решении .

Понятно, что если итерационный метод сходится, то последовательность погрешностей , а так же и последовательность невязок . Верно и обратное утверждение.

Скорость сходимости

Говорят, что итерационный метод имеет линейную скорость сходимости (или скорость сходимости геометрической прогрессии со знаменателем ), если, начиная с некоторого номера итерации , выполняется следующее неравенство:

, где . Чем меньше , тем быстрее метод сходится.

Говорят, что итерационный метод имеет сверхлинейную скорость сходимости, если, начиная с некоторого номера итерации , выполняется следующее неравенство: , где , .

Говорят, что итерационный метод имеет квадратичную скорость сходимости, если, начиная с некоторого номера итерации , выполняется следующее неравенство: , где .

Квадратичная скорость сходимости самая быстрая.

Определим понятие критерия окончания итерационного процесса. Обычно на практике требуется найти приближённое решение исходного уравнения (1) с некоторой наперёд заданной точностью . То есть выполнять вычисление приближений итерационным методом до тех пор, пока не выполниться условие: (3) – истинный критерий окончания. Однако на практике точное значение корня , как правило, неизвестно, поэтому пользуются другими критериями близкими к истинному, либо же следующими, вообще говоря, «ложными» критериями: (4) или (5). Однако, из выполнения условий (4) и (5), вообще говоря, не следует выполнение условия (3), то есть выполнение условий (4) и (5) не гарантирует выполнение условия (3) с той же точностью .

{ Самостоятельно законспектировать тему: «Метод половинного деления»}

Метод простой итерации (МПИ)

Пусть задано нелинейное уравнение (1) на интервале , содержащем один и только один корень данного уравнения.

Предположим, что непрерывная и имеет непрерывную производную на .

С помощью эквивалентных преобразований приведём уравнение (1) к виду удобному для итерирования: (2). Например, домножим обе части уравнения (1) на к обеим частям равенства добавим , тогда .

Выберем на промежутке каким-либо способом, грубо, приближённое значение корня и вычислим по формуле: - первое приближение к решению уравнения (1) (или что то же самое (2));

Исходя из построим по формуле: - второе приближение к решению уравнения (1) (или что то же самое (2)) и т.д. Если известно приближение , то , (3). Формула (3) описывает МПИ для решения уравнения (1) (или что то же самое (2)).

Говорят, что МПИ для уравнения (1) сходится, если предел последовательностей приближений , определяемых формулой (3) существует и равен точному значению корня : .

Выясним условия сходимости МПИ.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на и принимает значения в этом промежутке (). Пусть кроме того (4), тогда МПИ (3) сходится независимо от выбора начального приближения к точному значению корня уравнения (1) и справедлива оценка погрешности: (5).

Из этой теоремы следует, что в качестве в частности можно взять максимум по модулю значения функции на : и чем меньше значение , тем выше фактическая скорость сходимости метода. МПИ имеет линейную скорость сходимости (или скорость сходимости геометрической прогрессии с указанным знаменателем ).

Из оценки погрешности (5) следует, что итерации в общем случае следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие: (6).

Условие (6) называется критерием окончания итерационного процесса, близким к истинному, так как его выполнимость гарантирует получение приближённого решения с заданной точностью (по формуле (5)).

Если функция в исходном уравнении (1) достаточно гладкая и не обращается в ноль ни в одной точке отрезка, то можно получить ещё один критерий близкий к истинному. Для этого воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора в окрестности точки :

, где , .

. Возьмём , тогда, где , так как точное значение корня.

или . Введём обозначения , тогда и в качестве критерия близкого к истинному получаем: (7).

Кроме критериев (6) и (7) можно так же пользоваться и ложными критериями приведенными ранее.

Если исходное уравнение (1) приведено к следующему эквивалентному виду: , , , , то МПИ (3) для такого уравнения записывается следующим образом: (8). В формуле (8) константу возьмём такую, чтоб последовательность приближений в этой формуле была сходящейся, для этого воспользуемся теоремой о сходимости и потребуем, чтоб :

Поскольку на промежутке содержится единственный корень уравнения , то функция на данном промежутке сохраняет свой знак, поэтому возможны 2 случая:

1) функция сохраняет положительный знак на , тогда ;

2) функция сохраняет отрицательный знак на , тогда

Если , то при и при .

Подставляя в формулу (8) будем получать сходящийся итерационный метод.

Замечание. МПИ (8) сходится быстрее всего (знаменатель геометрической прогрессии принимает наименьшее возможное значение), если:

1) , то

2) , то

Рассмотрим геометрический смысл МПИ. , - условие сходимости.

a) сходимость по «лестнице» ,

b) сходимость по «спирали»

c) расходящийся случай

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть задано нелинейное уравнение (1) на интервале , содержащем один и только один корень данного уравнения.

Предположим, что непрерывно-дифференцируема на , .

Получим итерационную формулу метода Ньютона аналитически. Пусть нам уже известно -е приближение решения уравнения (1)

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

. Возьмём в качестве точное значение корня (), тогда, где , так как точное значение корня.

, . Тогда в качестве следующего приближения к корню уравнения (1) можно взять следующее выражение: , (2) – итерационная формула метода Ньютона.

Теорема (о сходимости). Пусть и , существуют, непрерывны, сохраняют определённые знаки на и не обращаются в ноль, то есть , на , тогда если начальное приближение удовлетворяет условию :(3), то метод Ньютона, определяемый формулой (2),сходится к точному значению корня уравнения (1) и справедлива оценка погрешности: (4), где и .

Следует отметить, что метод Ньютона для уравнения (1) обладает квадратичной скоростью сходимости, более быстрой чем линейная, однако метод сходится лишь в малой окрестности корня , то есть когда начальное приближение выбрано достаточно близко к корню .

Из оценки погрешности (4) можно получить критерий окончания итерационного процесса, близкий к истинному: (5). Можно так же пользоваться полученными ранее критериями : - близкий к истинному, или двумя ложными критериями и .

Геометрический смысл метода Ньютона.

Пусть для определённости , , , , .

В качестве начального приближения точки возьмём , так как . Проведём касательную к графику функции в точке до пересечения с осью . Уравнение касательной имеет вид . Точка пересечения касательной с осью имеет координаты: абсцисса , ордината . Тогда , . Значение абсциссы совпадает с итерационным значением формулы (2) при . Аналогично, из точки находим точку с координатами и через неё проводим касательную , и т.д. Таким образом, в качестве приближения корня выступают абсциссы касательных.

Модифицированный метод Ньютона

Если на промежутке изменяется несущественно, то в итерационной формуле (2) можно приближённо положить и тогда строить последовательность приближений к решению по формуле: , (6) – итерационная формула модифицированного метода Ньютона.

Достоинствами метода являются облегчение решения, уменьшение количества арифметических действий, однако, такая приближённая замена приводит к замедлению скорости сходимости – она становится линейной.

Геометрически касательные к графику функции в каждой точке заменяются прямыми параллельными касательной в точке .

Метод хорд

Пусть задано нелинейное уравнение (1) на интервале , содержащем один и только один корень данного уравнения. Предположим, что функция дважды непрерывно-дифференцируема на , причём и сохраняют определённые знаки на .

Получим итерационную формулу метода хорд из геометрических соображений.

Пусть , , , . Запишем уравнение хорды проходящей через точки и : . Найдём точку пересечения хорды с осью : , , тогда . Далее проводим хорду через точки и , получаем: , , , тогда . Продолжая описанный процесс для произвольного номера приближения получаем: (2).

Начальным приближением в формуле (2), очевидно выступает точка . В рассмотренном случае на промежутке приближение к корню осуществляется слева, правый же конец (точка ) является неподвижным.

Рассмотрим другой случай: , , , .

Так же как и в первом случае проводим прямую соединяющую точки и и т.д. и , В этом случае процесс приближения к корню осуществляется справа, точка выступает в качестве начального приближения, а левая граница (точка ) является неподвижной. Тогда итерационная формула имеет вид:

, (3).

Теорема (о сходимости). Пусть и , существуют, непрерывны, сохраняют определённые знаки на и не обращаются в ноль. Если начальное приближение удовлетворяет условию :(4), то метод хорд (2) или (3) сходится к точному значению корня уравнения (1) и справедлива оценка погрешности: (5), где и .

Из этой теоремы следует, что на отрезке , тот из концов отрезка (или ) на котором знак функции совпадает со знаком является неподвижным и соответственно тот из концов, для которого выполняется условие (4) выступает в качестве начального приближения.

Из оценки погрешности (5) вытекает следующий критерий окончания итерационного процесса, близкий к истинному: (6).

Кроме условия (6) можно использовать полученный ранее критерий близкий к истинному , а так же использовать ложные критерии и .

В теории метода показано, что если начальное приближение выбрано достаточно близко к корню , то метод хорд сходится с линейной скоростью сходимости.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Необходимые вспомогательные сведенья из математического анализа и алгебры

Обозначим через -мерное, вещественное, векторное, линейное пространство. Если , то .

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: , где и .

Определение. Нормой вектора называется вещественное число, условно обозначаемое , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) и ;

2) свойство однородности: ;

3) равенство треугольника: .

Существуют несколько способов вычисления нормы вектора. Наиболее известные следующие:

1) кубическая норма: ;

2) октаэдрическая норма: ;

3) Эвклидова (сферическая) норма: .

Пусть - квадратная матрица -го порядка.

Определение. Нормой матрицы называется вещественное число, условно обозначаемое , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) и ;

2) ;

3) , и имеют одинаковый порядок;

4)

Норма квадратной матрицы называется согласованной с данной нормой вектора , если для выполняется следующее неравенство:

(1).

Определение. Согласованная норма называется подчинённой данной норме вектора, если для в неравенстве (1) достигается знак равенства (подчинённая – наименьшая из всех согласованных норм).

Можно показать, что: (2).

Приведём наиболее распространённые нормы матриц:

1) - подчинена ;

2) - подчинена ;

3) спектральная норма: , где - наибольшее по модулю собственное значение матрицы , где - транспонированная, комплексно-сопряжённая.

Данная норма матрицы подчинена .

4) - согласована с , , ;

5) - норма Шмидта, согласована с .

Замечание. Легко заметить из формулы (2), что подчинённая норма единичной матрицы : , .

Определим понятия сходимости векторных и матричных последовательностей.

Пусть имеется последовательность векторов в , то есть и пусть имеется вектор . Будем говорить, что последовательность векторов сходится к вектору в, если для любого номера координаты имеет место покоординатная сходимость: .

Аналогично, пусть имеется последовательность матриц , то есть и пусть имеется матрица . Будем говорить, что матричная последовательность сходится к матрице , если для любых номеров координат выполняется условие: .

Теорема 1. Для того чтоб последовательность векторов сходилась к вектору в необходимо и достаточно чтоб .

Теорема 2. Для того чтоб матричная последовательность сходилась к матрице необходимо и достаточно чтоб .

Замечание. Формулировка теорем 1 или 2 векторной и матричной нормы произвольны.

Пусть задана СЛАУ:

(3).

Введём обозначения:

- матрица коэффициентов;

- столбец неизвестных; - столбец свободных членов.

Тогда исходную СЛАУ можно переписать в виде: (3`).

Методы решения СЛАУ делятся на две группы:

1) прямые;

2) итерационные.

Прямые методы решения СЛАУ – это методы, позволяющие отыскать решение системы при помощи конечного числа арифметических действий. Если при этом исходные данные задачи (матрица и вектор ) заданы точно и все арифметические операции выполнены точно, то прямые методы позволяют получить точное решение СЛАУ. Однако на практике решение чаще всего получается приближённое.

К таким методам относится: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса и др.

Итерационные методы основаны на построении последовательности приближений, при определённых условиях сходящиеся к точному решению СЛАУ.

К таким методам относится: метод простой итерации, метод Зейделя и др.

{ Самостоятельно законспектировать тему: «Сравнение прямых и итерационных методов»}

Метод Гаусса – прямой метод решения СЛАУ

Метод основан на последовательном исключении неизвестных, благодаря чему исходная система приводится к треугольному или трапециевидному виду.

{ Самостоятельно законспектировать тему: «Метод Гаусса решения СЛАУ»}

Метод квадратного корня – прямой метод решения СЛАУ

Пусть задана СЛАУ: (1) с вещественной симметричной матрицей .

Предположим, что все главные миноры матрицы отличны от нуля. В этом случае матрицу можно разложить в произведение двух треугольных матриц: , где - верхняя треугольная матрица .

Потребуем, чтоб все элементы на главной диагонали матрицы были одного знака (для определённости ). С этой целью мы выполняем умножение . Приравниваем элементы полученного произведения соответствующим элементам матрицы .

Так как матрица симметричная, то полученные равенства достаточно рассмотреть лишь для элементов, стоящих выше главной диагонали.

Шаг 1. Умножим первую строку матрицы на все столбцы матрицы и приравняем соответствующим элементам матрицы , получим: , , ,…,. Отсюда получим: , (2).

Шаг 2. Умножим вторую строку матрицы на все столбцы матрицы начиная со второго и приравняем соответствующим элементам матрицы , получим: , . Отсюда получим: , .

и т.д. запишем формулы для нахождения элементов произвольной -й строки матрицы .

Шаг i. () Умножим -ю строку матрицы на все столбцы матрицы начиная с -го и приравняем соответствующим элементам матрицы , получим: , . Отсюда получим: , (3).

Таким образом, после шагов, выполненных по данной схеме, мы найдём все элементы матрицы . Тогда исходную систему уравнений можно переписать в виде: . Введём обозначения , где - пока неизвестный вектор. Тогда исходная система уравнений (1) приводится к следующему виду: . То есть исходная система свелась к решению двух систем треугольного вида. Распишем систему уравнений (4) в координатной форме: (4`).

Отсюда получим следующие формулы для нахождения вектора : , (6).

Распишем систему уравнений (5) в координатной форме: (5`).

Отсюда получим следующие формулы для нахождения вектора : , (7).

Формулы (7) определяют искомое решение системы (1).

Замечание. Элементы матрицы :, которые вычисляются по формулам (2), (3) будут вещественными, если исходная матрица является положительно определённой.

Определение. Симметричная, квадратная матрица называется положительно определённой, если для . Согласно критерия Сильвестра для положительной определённости симметричной матрицы необходимо и достаточно чтоб все её главные миноры были >0.

Из формул (2) и (3) видно, что -вещественное число, если ; -вещественное число, если и т.д.

Из формул для нахождения видно, что если хотя бы один из главных миноров матрицы равен нулю, то разложение матрицы в произведение невозможно, поскольку в формулах (2), (3), (6) и (7) появляется деление на ноль. Метод квадратного корня в таком случае не применим.

Метод ортогонализации – прямой метод решения СЛАУ

Пусть задана последовательность векторов .

Последовательность векторов называется ортогональной, если . Последовательность векторов называется ортонормированной, если она ортогональна в и Эвклидова норма каждого вектора .

Другими словами последовательность векторов ортонормированна, если .

Утверждение. По любой линейно независимой системе векторов можно построить ортонормированную систему.

Пусть задана СЛАУ: (1) с невырожденной матрицей (- существует единственное решение).

Введём следующие обозначения: для каждой -й строки обозначим через следующий вектор и через вектор размерности , такой что . Тогда исходная СЛАУ (1) перепишется в виде: (1`).

Таким образом, задача решения СЛАУ (1) сводится к нахождению вектора ортогонального всем линейно независимым векторам и последняя координата которого равна 1.

Такой вектор будет единственным в силу единственности решения СЛАУ (1).

введём в рассмотрение ещё один вспомогательный вектор и покажем, что последовательность векторов является линейно независимыми, то есть (2), только тогда, когда . Запишем (2) в развёрнутой покоординатной форме: (2`).