Под численным интегрированием понимают приближённое вычисление интеграла, если подынтегральная функция имеет сложное аналитическое выражение или задана таблично, то точные методы интегрирования, изученные в математическом анализе, становятся неприменимыми. Для таких интегралов разработаны приближённые способы вычисления.
Формулы приближённого вычисления интегралов называются квадратурными формулами. Основная идея построения этих формул основана на замене подынтегральной функции приближающей функцией интеграл от которой легко вычислить.
Простейшие квадратурные формулы могут быть получены из геометрических соображений.
Если заменить участок кривой примой , где и , то получим: - квадратурная формула трапеций.
Всякую квадратурную формулу можно записать в следующем наиболее общем виде: (1), где
коэффициенты квадратурной формулы; узлы квадратурной формулы; погрешность, остаточный член квадратурной формулы; целое число, которое выбирается из соображений точности; весовая функция; известная подынтегральная функция.
Разные квадратурные формулы отличаются друг от друга способом выбора узлов и коэффициентов.
Определение. Говорят, что квадратурная формула (1) является точной, если .
В общем же случае это не так и квадратурную формулу (1) часто записывают в следующем виде: (2).
Большинство квадратурных формул основаны на приближённой замене подынтегральной функции алгебраическим многочленом. В связи с этим возникает понятие алгебраической степени точности квадратурной формулы.
Говорят, что квадратурная формула (1) имеет алгебраическую степень точности если она точна () для всех алгебраических многочленов степени и не является точной хотя бы для одного алгебраического многочлена степени .
Замечание 1. На основе теоремы Вейерштрасса любую непрерывную функцию на конечном отрезке можно сколь угодно точно приблизить алгебраическим многочленом (за счёт увеличения степени многочлена). Поэтому следует ожидать, что чем выше алгебраическая степень точности квадратурной формулы, то тем более точный результат она будет давать на классе непрерывных функций.
Замечание 2. Если квадратурная формула точна для всех алгебраических многочленов степени , то она будет точна и для всех алгебраических многочленов степени .
Интерполяционные квадратурные формулы
Построение этих формул основано на замене подынтегральной функции ее интерполяционным многочленом.
Выберем на отрезке интегрирования совокупность попарно различных узлов интерполяции: узел и представим подынтегральную функцию в виде суммы: .
В качестве интерполяционного многочлена будем рассматривать интерполяционный многочлен Лагранжа:
,
тогда
(3).
где
, (4)
(5).
Квадратурная формула (3) называется интерполяционной квадратурной формулой. Её узлы совпадают с узлами интерполяции, а коэффициенты вычисляются по формуле (4).
Теорема (об интерполяционных квадратурных формулах). Для того чтобы квадратурная формула (1) была точна для любого алгебраического многочлена степени необходимо и достаточно чтобы она была интерполяционной.
Замечание.Из этой теоремы следует, что алгебраическая степень точности интерполяционных квадратурных формул равна, по меньшей мере, .
Рассмотрим вопрос об оценке погрешности (5) интерполяционной квадратурной формулы.
Предположим, что в квадратурной формуле (1) подынтегральная функция и ее производные непрерывны (производные до -го порядка включительно) на и пусть: . Тогда из (5) получим:
(6).
Заметим, что если функция изменяет свой знак на , то оценка (6)для погрешности может быть сильно завышенной.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Частный случай интерполяционных квадратурных формул, когда на , а - равноотстоящие узлы с шагом , где , , , .
Рассмотрим выражение для коэффициентов , интерполяционной квадратурной формулы (3).
Выполним в формуле (4) замену переменной интегрирования:. Перейдем от к ; , получим:
Подставив в (4) получаем:
, (7).
Коэффициенты называются коэффициентами Котеса. Подставляя в формулу (1) получим: (8) – квадратурная формула Ньютона-Котеса с коэффициентами (7) в качестве узлов – равноудаленные точки.
Свойства коэффициентов Котеса
1) Коэффициенты , не зависят от отрезка интегрирования и величины шага, поэтому для достаточно больших они заранее посчитаны и приводятся в специальной литературе.
При
При
При и т.д.
2) Коэффициенты Котеса симметричны относительно середины промежутка интегрирования.
3) .
Частные случаи формул Ньютона-Котеса
I. при :
- один узел в квадратурной формуле (8). При этом формулой (7) для коэффициентов Котеса воспользоваться нельзя, поскольку она содержит неопределенность.
Поэтому будем строить формулу для любых коэффициентов исходя из общей идеи построения интерполяционных квадратурных формул.
Заменим подынтегральную функцию ее интерполяционным многочленом, построенным по единственному узлу . Получим:
, , .Тогда, (9)– квадратурная формула прямоугольника,
причем, если , то формула (9) называется квадратурной формулой левых прямоугольников, если , то (9) – квадратурная формула правых прямоугольников, если , то (9) – квадратурная формула средних прямоугольников.
На основе теоремы о среднем значении получаем: найдется такая точка , что , (10).
Остаточный член квадратурной формулы правых прямоугольников при так же имеет представление (10).
Рассмотрим остаточный член квадратурной формулы средних прямоугольников.
, получим: (11).
Тогда из формулы (5): .
Очевидно, что в этом случае нельзя применить теорему о среднем значении, так как функция меняет свой знак.
Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :
, где , .
Перенесем в левую часть и проинтегрируем на промежутке :
, где (на основании теоремы о среднем).
, (12).
Рассмотренные нами разновидности формулы прямоугольников (9) носят название элементарных формул прямоугольников.
Но если отрезок достаточно велик, то рассмотренные элементарные формулы имеют не высокую точность.
В этом случае строят так называемые составные (полные) квадратурные формулы.
Отрезок интегрирования разбивают на (- достаточно большое натуральное число) равных частей с шагом и получают точки разбиения , .
И на каждом частичном промежутке , применяется та или иная квадратурная формула.
Пример. , .
Просуммируем по всем - (13) полная формула левых прямоугольников.
Аналогично можно построить полные формулы правых и средних прямоугольников:
- (14) полная формула правых прямоугольников, - (15) полная формула средних прямоугольников.
Остаточные члены полных формул прямоугольников (13), (14), (15) получим в результате суммирования погрешностей, полученных на каждом частичном промежутке .
Формулы остаточных членов имеют вид: (16), - остаточный член формул (13) и (14).
Заметим, что , , .
Чем меньше , тем меньше погрешность. При .
(17), - остаточный член формулы (15).
Замечание.Сравнивая остаточные члены (16) и (17) видим, что при одинаково малом полная формула средних прямоугольников более точная, чем полная формула левых и правых прямоугольников, например, при , , .
Кроме того, заметим, что формулы правых и левых прямоугольников дают точный результат () лишь при .
А формула средних прямоугольников будет так же точна для любого многочлена первой степени.
Отсюда следует, что алгебраическая степень точности квадратурных формул левых и правых прямоугольников равна 0, а алгебраическая степень точности формулы средних прямоугольников равна 1.
II. при : ; ;.
(18).
Погрешность квадратурной формулы (18) выводится из формулы (5):
(19)
Построим полную формулу.
Разобьём отрезок интегрирования на равных частей с шагом , , .
, ,
(20)- составная формула трапеции.
Её остаточный член имеет следующий вид: , (21).
Замечание. Сравнивая формулы (21) и (17) видим, что формулы трапеции и средних прямоугольников имеют одинаковые точности по , а так же одинаковую алгебраическую степень точности, равную 1.
III. при : ; ; ;, .
(22)– элементарная квадратурная формула Симпсона (формула параболы).
Остаточный член имеет вид:(23), - остаточный член элементарной формулы параболы.
Рассмотрим составную формулу Симпсона.
Разобьем отрезок интегрирования на четное число частей с шагом , - равноотстоящие с шагом .
На каждом частичном промежутке , содержащем 3 точкиприменим элементарную формулу Симпсона (22), .
Просуммировав эти примерно равные по всем номерам , получим:
(24)– составная квадратурная формула Симпсона.
Остаточный член имеет вид:(25), .
Заметим, что из формул (23) и (25) следует, что формула Симпсона и в элементарном и в составном варианте будет точна () для всех многочленов 3-ей степени. То есть алгебраическая степень точности формулы Симпсона равна 3.
примой 
, где 
и 
, то получим: 
- квадратурная формула трапеций.
(1), где
коэффициенты квадратурной формулы; 
узлы квадратурной формулы; 
погрешность, остаточный член квадратурной формулы; 
целое число, которое выбирается из соображений точности; 
весовая функция; 
известная подынтегральная функция.
.
(2).
если она точна (
.
можно сколь угодно точно приблизить алгебраическим многочленом (за счёт увеличения степени многочлена). Поэтому следует ожидать, что чем выше алгебраическая степень точности квадратурной формулы, то тем более точный результат она будет давать на классе непрерывных функций.
.
узел 
и представим подынтегральную функцию 
.
, 
(3).
, 
(4)
(5).
необходимо и достаточно чтобы она была интерполяционной.
. Тогда из (5) получим:
(6).
изменяет свой знак на 
на 
, где 
, 
, 
, 
.
, 
интерполяционной квадратурной формулы (3).
. Перейдем от 
к 
; 
, получим:
, 
называются коэффициентами Котеса. Подставляя в формулу (1) получим: 
(8) – квадратурная формула Ньютона-Котеса с коэффициентами (7) в качестве узлов – равноудаленные точки.
, 
и т.д.
.
:
- один узел в квадратурной формуле (8). При этом формулой (7) для коэффициентов Котеса воспользоваться нельзя, поскольку она содержит неопределенность.
, 
, 
.Тогда
, 
(9)– квадратурная формула прямоугольника,
причем, если 
, то (9) – квадратурная формула правых прямоугольников, если 
, то (9) – квадратурная формула средних прямоугольников.
. С другой стороны из общей формулы (5) имеем:
, 
.
, что 
, 
(10).
(11).
.
, где 
, 
.
и проинтегрируем на промежутке 
, где 
, 
(
- достаточно большое натуральное число) равных частей с шагом 
и получают точки разбиения 
, 
.
, 
применяется та или иная квадратурная формула.
, 
- (13) полная формула левых прямоугольников.
- (14) полная формула правых прямоугольников, 
- (15) полная формула средних прямоугольников.
(16), 
, 
, тем меньше погрешность. При 
.
(17), 
, 
, 
.
) лишь при 
.
.
(18).
(19)
, 
, 
(20)- составная формула трапеции.
, 
(21).
; 
;
, 
(22)– элементарная квадратурная формула Симпсона (формула параболы).
(23), 
- равноотстоящие с шагом 
, содержащем 3 точки
применим элементарную формулу Симпсона (22), 
.
(24)– составная квадратурная формула Симпсона.
(25), 
) для всех многочленов 3-ей степени. То есть алгебраическая степень точности формулы Симпсона равна 3.