Метод простой итерации

Метод касательных

Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.

На k^ой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=c_k и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом достаточно задать начальное приближение c₀, а не указывать отрезок [a,b].

Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x₀ имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y=0, откуда

Таким образом, получим формулу для нахождения последовательности c₁, c₂… точек пересечения касательных с осью абсцисс:

Условие окончания счета: . Корень уравнения: c_i+1.

Блок-схема метода касательных:

начало

Программа уточнения корней методом касательных:

program met_kasat;

var c,e,g: real;

N:integer;

function f(x: real):real;

begin

{записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]}

f:=x*x*x-x+4;

end;

function df(x: real):real;

begin {записать, производную функции f в виде df:=[математическое выражение]}

df:=3*x*x-1;

end;

begin

write('Введите начальное приближение - c: ');readln(c);

write('Введите требуемую погрешность - e:'); readln(e);

N:=0;

repeat N:=N+1;

g:=c;

c:=c-f(c)/df(c);

until abs(g-c)<e;

writeln('Приближенное значение корня - Х = ',c);

writeln('Число итераций - N = ',N);

readln

end.

Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x).

Теорема.

Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1) функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b];

2) "x Î [a,b] f(x) Î [a,b]

3) $q "xÎ[a,b] |f’(x)|£q<1

Тогда итерационная последовательность x_n=f(x_n-1) (n=1,2,...) сходится при любом начальном члене x₀Î[a,b].

Таким образом, наша задача: преобразовать уравнение F(x)=0 к виду x = f(x), удовлетворяющему условиям теоремы 1-3 (хотя итерационная последовательность может сходиться и при невыполнении некоторых условий).

В зависимости от вида функции сходимость может происходить ступеньками либо по спирали.