II. Отделения корней программным способом.

I. Графический способ отделения корней

Отделение корней

Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.

а) Теорема.

Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b)<0), то уравнение F(x)=0 имеет на этом отрезке, по крайней мере, один корень.

Если функция y=F(x) на отрезке [a,b] строго монотонна, то корень единственный.

Требуется указать отрезок, содержащий нуль функции.

Например, пусть требуется отделить корни уравнения x²-x-1=0. Построим график функции y=x²-x-1 и укажем отрезки, содержащие точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Искомые промежутки: [-1; 0] [1; 2].

б) Иногда проще рассмотреть вместо уравнения y=F(x) равносильное ему уравнение f₁(x)=f₂(x). В этом случае требуется указать отрезок, содержащий абсциссу точки пересечения графиков функций y=f₁(x) и y=f₂(x).

Например, пусть требуется отделить корни уравнения x²-x-1=0. Рассмотрим равносильное ему уравнение x²=x+1. Тогда вместо отрезков, содержащих точки пересечения графика функции y=x²-x-1 с осью абсцисс, можно указать отрезки, содержащие точки пересечения графиков функций f₁(x)=x² и f₂(x)=x+1.

Искомые промежутки: [-2; 0] [1; 3].

Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h. Если функция на отрезке длины h меняет знак (т.е. F(a)F(b)<0) и монотонна, можно считать, что на этом отрезке ровно 1 корень.

Правильность нахождения отрезков, содержащих один корень, зависит от характера функции y=F(x) и от величины шага h. При выборе шага должна соблюдаться «золотая середина», т.к. шаг h должен быть с одной стороны достаточно малым, чтобы не произошло потери корней, а с другой стороны не настолько маленьким, чтобы число отрезков не было слишком большим.

Блок-схема отделения корней:

Программа отделения корней:

program otd_korn;

var x1,x2,a,b,h:real;

function f(x: real):real;

begin {записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]} f:=x*x*x-x+4;

end;

begin

write('Введите левую границу отрезка - a: ');readln(a);

write('Введите правую границу отрезка - b: ');readln(b);

write('Введите шаг - h:'); readln(h);

x1:=a; x2:=x1+h;

while x2<b do

begin

if f(x1)*f(x2)<0

then writeln('[ ',x1:6:2,' , ',x2:6:2,' ]');

x1:=x2; x2:=x1+h;

end;

readln;

end.