Описание динамических систем в частотной и временной областях, свертка

Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Непериодический (одиночный) сигнал можно рассматривать как предельный случай периодического сигнала с бесконечным периодом. Поэтому если взять ряд Фурье с формулами коэффициентов ряда и в этих выражениях устремить период к бесконечности, то в результате получим разложение по гармоническим составляющим для непериодического сигнала. На рисунке 1.11 показан спектр последовательности прямоугольных импульсов длительностью 0,1 с при последовательном удвоении его периода от 0,2 с до 1,6 с.

Рисунок 1.11

Из рисунка видно, что при удвоении периода снижается амплитуда гармоник, но увеличивается их плотность на оси частот. В предельном случае амплитуда гармонических составляющих станет бесконечно малой, но спектр полностью заполняет всю ость частот.

Формально, подставляя выражение для коэффициентов в ряд Фурье и выполняя предельный переход, получим следующее

.

Разделив полученное выражение на две формулы, получим прямое и обратное преобразование Фурье (интеграл Фурье)

Фактически интеграл Фурье позволяет представить произвольный сигнал в виде суммы гармоник с комплексными амплитудами. Модуль называют амплитудным спектром, а аргумент – фазовым спектром сигнала.

При прохождении гармонического сигнала через динамическую систему комплексная амплитуда сигнала умножается на передаточную функцию для частоты гармоники. При прохождении сложного сигнала через систему комплексная амплитуда каждой гармонической составляющей умножается на передаточную функцию. В результате спектр выходного и входного сигналов связаны следующим соотношением

.

Это выражение дает математическое описание динамической системы в частотной области.

Спектр выходного сигнала однозначно определяет выходной сигнал как функцию времени. Если взять обратное преобразование Фурье от спектра выходного сигнала, то получим следующее

Внутренний интеграл в последнем выражении

является обратным преобразованием Фурье от передаточной функции системы, следовательно, также является системной функцией, т.е. определяется только свойствами системы, а не входного сигнала. Эту функцию называют импульсной переходной функцией системы (ИПФ). Такое название объясняется следующим образом. ИПФ – это реакция системы на входной сигнал, спектр которого равнее единице для всего частотного диапазона от –¥ до +¥. Таким сигналом является d-функция

,

.

Таким образом, связь выходного и входного сигналов системы во временной области можно представить следующим выражением

.

Второе выражение получено из условия симметрии входного сигнала и передаточной функции в частотном описании динамической системы . Описание системы в частотной области называют сверткой. Наглядную физическую интерпретацию свертки можно получить из следующих представлений, Входной сигнал можно рассматривать как последовательность d-импульс ов

.

На каждый d-импульс система откликается импульсной переходной функцией . В результате выходной сигнал получается наложением реакций на все d-импульсы

.